Биомехатронные системы. Лекция 1. Двойной маятник

Двойной маятник:
оптимальное управление раскачиванием и торможением
Лекция 1
Гимнаст раскачивается на перекладине, управляя, в основном, углом в тазобедренном суставе; момент в запястном суставе при этом весьма мал.
Человек управляет колебаниями качелей вокруг точки подвеса, перемещаясь на них подходящим образом, в то время как в точке подвеса качелей отсутствует какой-либо «внешний» управляющий момент. В обоих последних случаях человек надлежащим образом использует силу тяжести.
Животные, человек могут перемещать “звенья” своего тела только одно относительно другого. Однако делают они это так, чтобы внешние силы, возникающие при относительном движении, – силы взаимодействия с окружающей средой, гравитационные силы – осуществляли движение тела как целого желаемым образом.
Например, ходьба, бег животных, ползание пресмыкающихся происходит благодаря силам трения с опорной поверхностью. Животные “организуют” надлежащие воздействия этих внешних сил при относительном движении звеньев тела.

Другой пример

Уравнения движения двойного маятника

Кинетическая энергия:
Потенциальная энергия:
Обобщенная работа:
Уравнения Лагранжа:
- момент инерции жесткого двухзвенника

- теорема Штейнера

Вычисление интеграла

Вместо угла ϕ введем новую переменную p:
Приведённый угол
Если
то
поскольку

Оптимальное управление, раскачивающее маятник
Начальное состояние:
Если
то
Постановка задачи:
Если
то
и

Решение задачи:
если
При
достигается максимум угла ϕ при