Численные методы и оптимизация траекторий межпланетных траекторий

Задачи, поставленные на второй семестр
Суть нашего проекта заключается в моделировании и оптимизации траектории полетов космических аппаратов при помощи вычислительных алгоритмов, основанных на методах численного исчисления.
На второй семестр была поставлена решения задачи двух тел при помощи численных методов, а конкретно методов семейства Рунге-Кутта и методов Эйлера. Далее провести их сравнение с аналитическом решением, исследовать методы на сходимость, построить соответствующие различным значениям шага по сетке разностные схемы.

Сходимость методов

Задача Коши
Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся задач — задачу Коши. По заданному условию находится функция x(t) при помощи интегрирования и дальнейшего использования начального условия. Ниже приведен общий вид задачи Коши:
Далее, при помощи метода сеток и конечных разностей ищется сеточная функция, область определения и значения которой дискретны.
Ниже приведены различные методы нахождения искомой сеточной функции:
- явная схема Эйлера
- неявная схема Эйлера
схема центральной
разности

Задача двух тел

Разностные схемы
Схема для явного метода Эйлера Схема для метода Рунге-Кутта 4 порядка

Список литературы
[1] Федоренко Р.П., «Введение в вычислительную физику». – 1994
[2] Калиткин Н.Н., «Численные методы». – 1978
[3] Муха В.С., «Вычислительные методы и компьютерная алгебра». – 2010
[4] Савельев И.В., «Курс физики – том 1 – Механика. Молекулярная физика». – 1989
[5] Холшевников К.В., Титов В.Б., «Задача двух тел».- 2007

Процесс решения задачи
Построение математической модели заданного физического процесса
Компьютерное моделирование процесса при помощи построенной математической модели
Нахождение аппромиксимированной зависимости при помощи численных методов

Полученные результаты
При решении задачи о движении тел, брошенного под углом к горизонту, использовались такие физические законы, как: II закон Ньютона, закон всемирного тяготения.
При решении использовалась явная схема Эйлера: был взят бесконечно малый промежуток времени, и для каждого значения искалось приращение радиус — вектора.
Получаем зависимость радиус — вектора от времени
на выбранной временной сетке.

Полученные результаты
Полученная численными методами траектория
Зависимость максимального отклонения
численного и аналитических решений от
величины разбиения сетки

Полученные результаты
Далее была решена задача, в которой рассматривается два тела, одно из которых покоится,
А другое движется под действием сил тяготения. В решении этой задачи были также использованы II закон Ньютона и закон всемирного тяготения.
Далее, при помощи явной схемы Эйлера была получена сеточная зависимость радиус — вектора от времени.

Полученные результаты
Тело движется в поле действия
второго тела
Тело преодолело притяжение
второго тела
и удаляется от него

В данный момент мы решаем, так называемую, задачу двух тел. Её формулировка следующая: даны два тела, их массы, начальные скорости и радиус-векторы. Между телами действует лишь сила гравитационного притяжения. Требуется отыскать зависимость положения обеих тел от времени.
Для решения данной задачи был выбран классический метод Рунге-Кутты четвертого порядка.
Задачи, которые предстоит решить

Задача двух тел

Поворот пространства

Виды траекторий движения
Эллиптическая траектория движения тел
Гиперболическая траектория движения тел

Имеем выражение для истинной и эксцентричной аномалии:
Дифференцируем его:
Переписываем полученное выражение, где n константа для средней аномалии:
Интегрируем полученное выражение, получаем (М – средняя аномалия):
Далее переписываем и решаем это уравнение просто рекуррентно с начальной подстановкой E0 = M:
Cвязь эксцентричной аномалии с истинной

По своей сути, задача двух тел – один из случаев задачи Коши, рассмотренной ранее.
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка – один из методов решения таких задач.
Метод Рунге-Кутты

Явные методы Рунге-Кутта

Метод Рунге - Кутты с автоматическим выбором шага

Оптимизация траектории - процесс проектирования траектории, который сводит к минимуму (или максимизирует) некоторую меру производительности при соблюдении набора ограничений.
Оптимизация траекторий

Прямой метод решения задачи оптимизации траектории состоит из двух этапов:
1) Непосредственно дискретизировать задачу оптимизации траектории, преобразовав ее в задачу оптимизации с ограниченными параметрами.
2) Решить эту задачу оптимизации.
Прямой метод решения задач оптимизации

Одиночная стрельба – ограничение дефекта на всем сегменте
Многократная стрельба – ограничение дефекта на множестве сегментов изначальной области решения
Примеры прямых методов