Динамика

От динамики Аристотеля
к динамике Ньютона
Аристотель,
384-322 г. до н.э.
Николай Кузанский
1401-1464
Аристотель:
каждому телу свойственно определенное место: легкие тела наверху, тяжелые – внизу
тела стремятся к своим местам,
такое движение является естественным
другие движения являются насильственными и требуют указания причины, почему они происходят
причина, по которой шар катится по столу – сила, которая передается шару из окружающей среды
Николай Кузанский: сила передается шару
в момент толчка, а дальше находится в нем
и обеспечивает существование его скорости
Галилей
показал, что нуждается в объяснении
не сохранение скорости, а ее изменение,
и связал понятие силы не со скоростью,
а с ускорением
сохранение же телом имеющейся у него скорости происходит по закону инерции

Динамика как раздел механики
При движении тела его скорость может изменяться
по модулю и направлению
движение
с ускорением
В чем причины ускорения
Взаимодействие тел
взаимное влияние тел на движение каждого из них
Законы Ньютона (1687 г.)
лежат в основе
классической механики
обобщение опытных фактов
?
Исаак Ньютон
(1643-1727)
Галилео Галилей
(1564-1642)

I закон Ньютона
Простейшая механическая система
Изолированное тело
НЕ действуют никакие силы
Если на тело не действуют никакие силы
или действие сил скомпенсировано,
то тело движется прямолинейно и равномерно или сохраняет состояние покоя
I закон Ньютона
Закон инерции
Г.Галилей (1632 г.) впервые сформулировал закон инерции
И.Ньютон обобщил выводы Галилея
и включил их в число основных законов движения
движение
и покой относительны
движение различно
в различных системах отсчета

Инерция и инертность
Инерция
ЯВЛЕНИЕ сохранения скорости тела
при отсутствии действия на него других тел
Инертность
СВОЙСТВО ТЕЛА оказывать сопротивление изменению его скорости

Масса в классической механике
Инертная масса тела
Количественная мера инертности тела
Скалярная физическая величина, характеризующая способность тела приобретать определенное ускорение под действием других тел
определяет количество вещества в теле
не зависит от скорости тела
величина аддитивная
справедлив закон сохранения массы
[m] = кг
Международный прототип (эталон) килограмма
хранится в Международном бюро
мер и весов (Севр под Парижем)
представляет собой цилиндр d=h=39,17 мм
из платино-иридиевого сплава
(90% платины, 10% иридия)

Масса – мера инертности
изменения скорости движения тел
Взаимодействие тел
причина
Пушечное ядро требует большой силы для придания ему движения. Чтобы остановить его,
также требуется большая сила
Воздушный шарик приходит
в движение от легкого толчка,
но сопротивление воздуха
быстро останавливает его

оба тела приобретают ускорения
изменяется скорость
обоих тел
Мера физического воздействия
Для количественного описания движения тела
под воздействием других тел – сила и инертная масса тела
Два тела взаимодействуют друг с другом:
Силы могут иметь различную физическую природу
Векторная сумма всех сил,
действующих на тело
[F] = Н
векторная физическая величина, являющаяся количественной мерой воздействия тел,
в результате которого тело приобретает
ускорение или изменяет свою форму и размеры
Сила
изменяются форма и размеры тел
Принцип суперпозиции (независимого действия)
Действие каждой силы не зависит от присутствия или отсутствия других сил
Равнодействующая сила

Сила F характеризуется:
численным значением
направлением в пространстве
точкой приложения
Сила

Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам
II закон Ньютона
Основной закон динамики
обобщение опытных фактов:
Если силами разной величины подействовать
на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенным силам
Сила, действующая на тело,
равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение
Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально действующей на него силе
и обратно
пропорционально массе
Импульс тела
Количество движения

III закон Ньютона
Два тела действуют друг
на друга с силами, равными
по величине и ↑↓ по направлению
Знак «минус»
ускорения взаимодействующих
тел всегда направлены
в ↑↓ стороны
приложены
к разным телам
НЕ могут
уравновешивать друг друга
Сила действия равна
силе противодействия
всегда имеют одинаковую природу
!
Силы, возникающие
при взаимодействии тел

Законы Ньютона
1 закон Ньютона
для инерциальных систем отсчета
(т.е. движущихся без ускорения)
2 закон Ньютона
Инерция
ЯВЛЕНИЕ сохранения скорости тела
при отсутствии действия на него сил
Импульс тела
(количество
движения)
3 закон Ньютона
Масса
мера инертности
Инертность
СВОЙСТВО тел – для изменения скорости необходимо определенное воздействие на тело
m
[m] = кг
Сила
мера воздействия
F
[F] = кг м/с2 = Н
результирующая сила

Инерциальные системы отсчета
В механике Ньютона законы взаимодействия тел формулируются для класса ИСО
Инерциальные системы отсчета (ИСО)
системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной
по модулю и направлению
Во всех инерциальных системах отсчета
законы классической динамики имеют один и тот же вид
Брошенное тело падает отвесно
как в неподвижной системе отсчета,
так и в системе, движущейся равномерно
и прямолинейно относительно первой
Всякая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно,
также является инерциальной

Система отсчета, связанная с Землей
НО при повышении точности экспериментов обнаруживаются отклонения от инерциальности СО, связанной с Землей
вращение Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца
причина
Если бы система, связанная
с Землей, была инерциальной
плоскость качаний
маятника Фуко оставалась бы неизменной относительно Земли
Маятник Фуко
При описании движения тел
вблизи поверхности Земли
массивный шар,
подвешенный на длинной нити
и совершающий малые колебания
около положения равновесия
Жан Бернар
Леон Фуко
1851 г.
ИСО
При решении многих задач эффекты, обусловленные неинерциальностью, малы,
и в этих случаях СО, связанную с Землей
можно считать инерциальной

гелиоцентрическая (звездная)
система отсчета:
начало координат – в центре Солнца,
оси проведены в направлении определенных звезд
Использовал Ньютон при открытии
закона всемирного тяготения
Инерциальных систем существует ∞ множество
Все ИСО образуют класс систем, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно
Ускорения какого-либо тела в разных инерциальных системах одинаковы
ИСО с высокой степенью точности:
Инерциальные системы отсчета
Установлено опытным путем

Уравнение движения МТ
называется (является)
уравнением движения МТ
Если на МТ действует несколько сил, можно найти их равнодействующую
и по ней определить ускорение МТ:
Дальше задача решается кинематически:
При решении конкретных задач уравнения движения записываются в проекциях на оси координат:

Уравнение движения МТ
Уравнение движения материальной точки
позволяет решать
две основные задачи динамики МТ
ПРЯМАЯ задача
ОБРАТНАЯ задача
Найти закон движения точки, если известны ее масса и действующая на нее сила
Позволяет из начальных условий и известных законов действия сил, предсказать будущее МТ
и восстановить прошлое
Урбен Жан Жозеф Леверье
(1811-1877)
Франция
по известному
закону движения планеты Уран открытие (1845) планеты Нептун

Преобразования Галилея
Преобразования Галилея
Законы Ньютона справедливы
в инерциальных системах отсчета
при скоростях, много меньших скорости света

Принцип относительности Галилея
Все механические явления
в различных ИСО
(инерциальных системах отсчета)
подчиняются одним и тем же физическим законам
(протекают одинаковым образом)
Принцип относительности Галилея
Принцип относительности справедлив и для всех других явлений: электромагнитных оптических и др.
Скорость
Ускорение

Движение системы МТ
Масса системы N материальных точек:
Импульс системы МТ:
Сумма сил,
действующих на i-ую МТ:
Уравнение движения системы МТ:

Центр масс системы МТ
СКОРОСТЬ движения центра масс:
ИМПУЛЬС системы МТ:

Контрольные вопросы
Пять пластинок одинаковой толщины имеют одинаковую массу. Наибольшая плотность у пластинки…
1
2
3
4
5
Какая сила требуется для подъема груза массой 15 кг
с ускорением 0,0 м/с2?
Для каждого из участков графика зависимости скорости движения тележки от времени подберите соответствующий вариант соотношения сил F1 и F2

Сильное
Слабое
Электромагнитное
Гравитационное
Определяет взаимодействие между кварками и определяет структуру ядер
Действует на расстояниях r ~ 10-15 м
Сильнее электромагнитного ~ в 100 раз
Проявляется при взаимодействиях
с участием нейтрино
Действует на расстояниях r~10-18 м
На макроуровне почти незаметно
Определяет взаимодействие между заряженными частицами
Действует на любых расстояниях
Проявляется при взаимодействии масс
Участвуют все частицы
Слабее, чем ЭМ ~ на 40 порядков
Наиболее важное на макроуровне
Электрический заряд
Масса
Силы в природе
Чтобы решать уравнение движения, необходимо знать законы действующих на тело сил
В современной физике различают виды взаимодействия:
В классической физике рассматриваются силы: гравитационные и ЭМ, а также упругие, силы трения – сводятся к межмолекулярным взаимодействиям ,т.е. имеют ЭМ природу

Гравитационная сила
Закон всемирного тяготения
Гравитационные силы притяжения
между телами
Сила тяжести
G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2
Гравитационная постоянная
g ≈ 9,81 м/с2
Ускорение
свободного падения
Масса Земли
g ≈ 9,780 м/с2
Rэ=6378 км
g ≈ 9,832 м/с2
на полюсах
на экваторе
Rп=6357 км
Радиус Земли:
Среднее значение на Земле
g зависит от высоты

Изменение ускорения свободного падения
с увеличением высоты
На высоте h
от поверхности Земли ускорение свободного падения определяется:

Сила тяжести
Сила тяжести
Направление:
сила, с которой тело притягивается к Земле
Точка приложения:
?
?
к центру Земли
центр масс
В СО, связанной с Землей,
на всякое тело действует сила:
Когда тело покоится относительно Земли,
Fтяж уравновешивается силой реакции опоры N или подвеса Т, удерживающих тело от падения
тело действует на опору
или подвес с силой

Вес тела. Изменение веса тела
Вес тела
Вес тела
В общем случае
При ускоренном движении
по вертикали
Вес тела в ускоренно
движущемся лифте
a < g, P < mg
движение вниз
вверх
Сила, с которой тело действует на опору
или растягивает вертикальный подвес
a = g, P = 0
невесомость
a > g,
P < 0
перегрузки

Сила тяжести и вес тела

Сила реакции опоры

Перегрузки
при ускоренном движении тела и опоры с ускорением, направленным вертикально вверх
Увеличение веса тела,
вызванное ускоренным движением опоры
или подвеса
Возникает
Состояние тела, при котором его вес больше силы тяжести

Перегрузки

Невесомость
на Земле
в невесомости

Упругие силы
Под действием приложенных к нему сил всякое реальное тело ДЕФОРМИРУЕТСЯ,
т.е. изменяет свои размеры и форму
Если после прекращения действия силы тело принимает первоначальные размеры и форму
деформация упругая
Деформации упругие, если
Сила упругости
Возникает при деформации тела
и направлена противоположно
направлению смещения частиц
при деформации

Основные типы упругой деформации
Сдвиг
Сводится
к сдвигу
Изгиб
Сочетание растяжения и сжатия
Растяжение
Сжатие
Кручение

Сила упругости
Сила упругости
Возникает в теле при его деформации, направлена противоположно направлению смещения частиц при деформации
k – коэффициент упругости
(жесткость)

Сила упругости
Возникает при
упругой деформации тел
Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Закон Гука

Сила упругости. Закон Гука
Деформация изгиба
Деформация растяжения
Деформация
растяжения и сжатия

Сила нормальной реакции опоры
Природа:
сила упругости,
возникающая при деформации
Направление:
всегда перпендикулярно (нормально) к опоре

Сила натяжения
сила, с которой нить действует на тело
Точка приложения:
Сила натяжения
Направление:
точка подвеса
вдоль нити

Механическое напряжение
Однородные стержни ведут себя при растяжении или однородном сжатии подобно пружине
Величина, характеризующая
деформацию стержня –
относительное изменение его длины
– нормальное напряжение
Механическое напряжение
E – модуль Юнга
При малых деформациях:
вывод формулы
сила упругости, действующая на единицу площади
равно отношению модуля силы упругости к площади поперечного сечения тела

Модуль Юнга
Зависит только от свойств материала
и НЕ зависит от размеров и формы тела
Показывает напряжение, которое необходимо приложить к телу, чтобы удлинить его в 2 раза

Батут

Катапульты

Лук

Диаграмма напряжений
ОА – зависимость линейная,
остаточной деформации нет
σп – предел пропорциональности
АВ – деформация еще упругая, хотя зависимость σ(ε) уже нелинейная
σу – предел упругости
ВС – возникают остаточные деформации
σт – предел текучести – напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (≈0,2%)
CD – деформация возрастает без увеличения напряжения –
область текучести (или область пластических деформаций)
DЕ – происходит разрушение тела
σр – предел прочности –
max напряжение,
возникающее в теле до разрушения
Вязкие материалы –
CD значительная
Хрупкие материалы – CD мала

Деформация сдвига
В любом сечении, параллельном граням
возникает тангенциальное напряжение,
где S – площадь грани
Характеристика деформации:
Опыт:
относительный сдвиг
модуль сдвига
зависит только от свойств материала
численно равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига
= 45°, если при этом предел упругости
не превзойден

Силы трения
появляются при перемещении
соприкасающихся тел или их частей
друг относительно друга
Силы трения
Внешнее трение
возникает при перемещении
двух соприкасающихся тел
Внутреннее трение
возникает между частями одного и того же сплошного тела (жидкости или газа)
Сухое
трение
возникает между поверхностями твердых тел
Вязкое
трение
возникает между твердым телом
и жидкой или газообразной средой,
а также между слоями такой среды
возникает при относительном перемещении двух твердых тел
Трение скольжения
возникает при попытке перемещения двух твердых тел
Трение покоя
Трение качения

Сила трения
Сила, возникающая в плоскости касания тел при их относительном перемещении
Сила реакции опоры
Сила тяжести
Вес тела
Сила трения скольжения

Сила трения покоя

Сила трения покоя
Всегда равна по модулю
и направлена противоположно силе,
параллельной поверхности соприкосновения
и стремящейся привести это тело в движение
Сила трения покоя
НЕ может превышать некоторого max значения
При
Сила трения покоя
Сила трения скольжения

От чего зависит сила трения
Сила трения пропорциональна
величине силы нормального давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу
Максимальная сила трения покоя
и сила трения скольжения зависят от:
силы давления тел друг
на друга (силы реакции опоры),
материалов трущихся поверхностей,
от скорости относительного движения
НЕ зависят от площади соприкосновения
Схематическое изображение места контакта скользящих поверхностей при малой (верх) и большой (низ) сжимающей
их силе

Уравнение движения тела

Виды сил трения

Сила трения качения

Внутреннее трение
Виды течения жидкостей (газов)
Внутреннее трение
возникает между слоями жидкости
или газа, движущимися с различными скоростями, или при движении твердого тела в жидкой или газообразной среде
Ламинарное (слоистое) течение
Турбулентное течение
при котором отдельные слои
жидкости (газа) движутся
с параллельно направленными скоростями, не перемешиваясь
при котором возникает энергичное перемешивание слоев

Ламинарное и турбулентное течения

Ламинарное и турбулентное течения

Ламинарное течение
η – коэффициент внутреннего трения (вязкость)
S – площадь соприкасающихся слоев
При ламинарном течении
модуль силы внутреннего трения определяется
законом вязкого трения Ньютона

Вязкость
одни слои увлекают (тормозят) другие в основном
за счет сил межмолекулярного притяжения, перенос импульса большой роли не играет
вследствие хаотического теплового движения
молекулы переходят из слоя в слой,
перенося с собой импульс упорядоченного движения слоев
В газах
В жидкостях
выравнивание скоростей различных слоев газа

Число Рейнольдса
Характер течения жидкостей (газов)
или обтекания тел средой определяется безразмерным числом Рейнольдса
Число Re служит также
критерием подобия обтекания тел
При больших – турбулентное
(для малых шариков Reкр = 10)
Осборн Рейнольдс (1842-1912)
Англия
При малых значениях числа Re
течение среды – ламинарное

Число Рейнольдса
Re=10-2
Re=20
Re=1000
Re=200

Закон Стокса
Движение сферического тела в безграничной среде при малых значениях Re
Движение сферического тела
в безграничной среде
при малых значениях Re

Контрольные вопросы
Тело массой m подвешено на пружине жесткостью k в лифте, движущемся вверх
А) с постоянной скоростью V
Б) с ускорением а
В каком случае удлинение пружины больше
и во сколько раз?
Чему равна сила трения?
А) Тело массой m покоится на наклонной плоскости с углом наклона β
Б) Тело соскальзывает с наклонной плоскости

Неинерциальные
системы отсчета

Движение в неинерциальных СО
Если система отсчета движется с ускорением, т.е. является неинерциальной, то законы Ньютона применять нельзя
Индексы:
1 – в неподвижной СО
2 – в ускорено движущейся СО
Ускорение СО
Для поступательного движения в неинерциальной СО
ускорение A одинаково для всех точек пространства

Силы инерции
II з-н Н в неинерциальной СО:
Воспользоваться законами Ньютона
в неинерциальной СО можно,
если ввести силы инерции
Силы инерции:
фиктивны – обусловлены не взаимодействием тел,
а свойствами самих неинерциальных систем отсчета (ускоренным движением СИ, ее неинерциальностью)
всегда являются внешними по отношению
к любому движению системы материальных тел
Движения тела под действием сил инерции аналогично движению во внешнем силовым поле
На силы инерции законы Ньютона не распространяются (невыполним закон действия и противодействия)

Силы инерции

Центростремительная
и центробежная силы
Рассмотрим вращение камня массой m на веревке
В каждый момент времени камень
должен был бы двигаться прямолинейно
по касательной к окружности
Однако он связан с осью вращения веревкой
Веревка растягивается,
появляется упругая сила,
действующая на камень,
направленная вдоль веревки
к центру вращения –
центростремительная сила
При вращении Земли вокруг оси
в качестве центростремительной силы выступает сила гравитации
Сила, же приложенная к связи
и направленная по радиусу
от центра называется центробежной

Центробежная сила
ИСО:
Вращающаяся СО:
центробежная сила инерции
Тело движется по окружности
Шины сплющиваются,
рессоры сжимаются, подвеска частично
кратковременно поглощает Fц, сцепление всех колес
с дорогой сохраняется
Эластичность узлов подвески использована, сцепление колес
с дорогой нарушается – машину может занести

Пример действия центробежной силы
Задача мотоциклиста сводится к тому,
чтобы своими действиями вовремя сочетать влияние удерживающего
и опрокидывающего моментов,
создавая желаемую траекторию и скорость
Силы, действующие на мотоцикл при повороте:
Y- вертикальная составляющая опорной реакции колеса
Z - поперечная составляющая опорной реакции колеса
R1- результирующая опорной реакции колеса
Rz - результирующая центробежной силы и веса мотоцикла
G - вес мотоцикла с водителем
Рс - центробежная сила
B - угол наклона мотоцикла

Пример решения задачи
Скорость
НЕ зависит
от массы!
Сила трения должна уравновесить центробежную силу:
!

Пример учета центробежной силы
Повороты на шоссе с наклоном внутрь поворота
проходить «легче», т.е. можно проходить с большей скоростью
Силы действующие на автомобиль (без учета сил трения):
В вертикальном направлении действует
центробежное ускорение компенсируется только горизонтальной составляющей Fтяж:
она уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы:

Учет центробежной силы
Земля за 1 сутки = 86400 с
поворачивается на угол 2π
на экваторе для тела массой m:
Земля вращается вокруг своей оси
с Землей можно связать неинерциальную СО
ускорение свободного падения g различно на экваторе, полюсах и на различных широтах

Сила Кориолиса
При движении тел относительно вращающейся СО,
кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила – сила Кориолиса
по отношению к вращающейся СИ шарик ведет себя так,
как если бы на него действовала сила, перпендикулярная направлению движения шарика – сила Кориолиса
шарик катится вдоль ОА
Диск не вращается:
шарик катится по кривой ОВ
Диск вращается по стрелке:
возникает когда тело изменяет свое положение по отношению к вращающейся СО
максимальна, когда угол между … 90°

Гаспар-Гюстав Кориолис
Французский математик, механик
и инженер
Также известен теоремой об ускорениях в абсолютном и относительном движениях, называемой теорема Кориолиса
Окончив Политехническую школу (1808), а затем (1812) Школу мостов и дорог (фр.), некоторое время работал на стройках
1835 год считается годом появления теоремы Кориолиса в ее общем виде
1792-1843
Франция
Gaspard-Gustave de Coriolis

Примеры проявления силы Кориолиса
При свободном падении тел
действие силы Кориолиса приводит к отклонению тел к востоку
максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах
При движении на север
При движении вдоль экватора
При движении на юг
у рек подмывается всегда правый берег в севером полушарии
и левый – в южном
неодинаковый износ рельсов
при двухколейном движении
в северном полушарии – тело отклоняется к востоку
в южном полушарии – к западу
в северном полушарии – тело отклоняется к западу
в южном полушарии – к востоку
при движении на запад – прижимают тело к земле
при движении на восток – поднимают его вверх

Влияние силы Кориолиса
на движение воздушных масс
Северный полюс
Южный полюс
Восточные ветры
Западные ветры
Северо-восточные пассаты
Юго-восточные пассаты
Западные ветры
Восточные ветры
60° с.ш.
30° с.ш.
0°
60° ю.ш.
30° с.ш.

Влияние силы Кориолиса
на океанские течения

Примеры проявления силы Кориолиса
На северном полюсе сила Кориолиса все время направлена вправо по ходу маятника, на южном – влево
В итоге траектория имеет вид розетки
Плоскость качания маятника поворачивается относительно Земли в направлении часовой стрелки
На полюсе за сутки она совершает один полный оборот, на широте ϕ плоскость качания поворачивается на 2πsinϕ

Сила Архимеда
равнодействующая
сил давления,
действующих со всех сторон
на погруженное в жидкость (или газ) тело
Выталкивающая (архимедова) сила
На погруженное в жидкость
(или газ) тело действует сила, равная весу вытесненной воды
Закон Архимеда