Динамика механической системы. Лекция 3

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Свойство внутренних сил механической системы.
Теорема: Главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент этих сил относительно произвольной точки равны нулю при любом состоянии системы.
Доказательство:
Суммируя по всем точкам системы, получим:
Возьмем произвольную точку О.
Суммируя по всем точкам системы, получим:
Относительно этой точки:

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Центр масс механической системы.
Движение механической системы зависит не только от действующих сил, но и от ее суммарной массы и распределения масс внутри системы.
Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:
Для описания движения системы в целом вводится геометрическая точка, называемой центром масс, радиус-вектор которой определяется
выражением:
Координаты центра масс:
Центр масс является геометрической, а не материальной точкой и может не совпадать ни с одной точкой системы.
Для тела, находящегося в однородном поле тяготения (g=const), положения центра тяжести и центра масс совпадают. Однако понятие о центре масс является более общим, чем понятие о центре тяжести и сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом силовом поле, и, как характеристика распределения масс имеет смысл не только для тела, но и для любой механической системы.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Дифференциальные уравнения движения механической системы.
Для k-ой точки системы можно записать дифференциальное уравнение движения:
дифференциальные уравнения движения механической системы
–
Начальные условия:
Система из 3N дифференциальных уравнений в общем случае не интегрируется.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Теорема о движении центра масс механической системы.
Просуммируем данные уравнения по всем точкам системы:
В левой части уравнения поменяем порядок суммирования и дифференцирования:
– теорема о движении центра масс механической системы
Центр масс механической системы движется как материальная точка, как бы обладающая массой системы под действием всех внешних сил, действующих на точки системы.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Частные случаи движения центра масс.
1.
Если главный вектор внешних сил, действующих на точки системы равен нулю, то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.
2.

O
x
y
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Пример.
Решение:
Пусть человек переместился на расстояние a, а лодка на расстояние l.
Лодка переместится на расстояние l в противоположную сторону.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Дифференциальные уравнения поступательного движения.
Свободное твердое тело при поступательном движении имеет три степени свободы, и его движение можно задать, определив движение центра масс в декартовой системе координат.
Для описания поступательного движения тела, достаточно задать движение любой одной его точки.
В качестве этой точки в динамике принимается центр масс тела.
– дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.
Начальные условия:

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Количество движения точки и механической системы.
Одной из мер движения точки или системы является количество их движения.
Проекции на декартовы оси:
В отличие от вектора количества движения точки, вектор количества движения системы является свободным вектором и не имеет точки приложения.
Проекции на декартовы оси:
Если система состоит из твердых тел, то:

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Количество движения точки и механической системы.
O
Колесо катится без проскальзывания:
Элементарный и полный импульс силы.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Теорема об изменении количества движения материальной точки.
Основное уравнение динамики точки:
– теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме.
Первая производная по времени от вектора количества движения точки равна равнодействующей активных сил и реакций связей, действующих на точку.
Дифференциал количества движения точки равен элементарному импульсу равнодействующей силы, действующей на точку.
теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме.
–
Изменение количества движения точки за промежуток времени от 0 до t равно полному импульсу равнодействующей силы, действующей на точку за тот же промежуток времени.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Теорема об изменении количества движения механической системы.
Просуммируем данные уравнения по всем точкам системы:
В левой части уравнения поменяем порядок суммирования и дифференцирования:
теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме.
–
Первая производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на точки этой системы.