Динамика в задачах

Содержание
1. Немного теории
2. План решения задач
3. Движение по горизонтали
4. Движение по вертикали
5. Наклонная плоскость
6. Задачки «на десерт»
переход к содержанию

Вспомним законы Ньютона
I закон: Существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной, если на него не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы.
Комментарии: если тело движется равномерно, это значит,
что равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю
II закон: Сила, действующая на тело, равна произведению массы
тела на сообщаемое этой силой ускорение.
F = ma
Комментарии: F – это равнодействующая сил, приложенных к телу
III закон: Тела действуют друг на друга с силами, равными по
модулю и противоположными по направлению F1 = - F2
Комментарии: силы возникают парами

Вспомним, какие силы нам известны
Сила тяжести
приложена к телу, направлена
вертикально вниз ( к центру Земли)
Fт = mg
Сила упругости
возникает при деформации тела. При малых деформациях она пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно направлению смещения частиц тела при деформации. Для модуля силы выполняется закон Гука:
mg
Fупр = k| x|
x = 0
Fупр
x
x = 0
x
Fупр

« Разновидности» силы упругости
N
Т
N
Т
Т1
Сила натяжения нити
Приложена к телу.
В случае, если нить невесома,
нерастяжима, одинакова в
любой части нити
Вес тела
Это сила , с которой тело, вследствие
его притяжения к Земле , действует
на горизонтальную опору или
растягивает подвес
P
P
Сила реакции опоры
Приложена к телу, всегда
направлена перпендикулярно
поверхности, на которой
находится тело

Силы трения
Сила трения возникает, если одно тело покоится на поверхности другого или движется по поверхности другого. Виды трения: покоя, скольжения, качения. Сила трения приложена к телу и направлена вдоль поверхности соприкасающихся тел в сторону, противоположную направлению движения тела, предполагаемого движения (когда мы пытаемся сдвинуть тело с места)
Исключением является случай, когда
одно тело начинает движение по
поверхности другого тела.
Здесь сила трения направлена
в сторону движения тела и является
той силой, которая приводит
его в движение
Fтр1
Fтр2
Максимальная сила трения покоя
( скольжения ) пропорциональна силе
нормального давления
Fтр1
Fтр2
Fтр1
Fтр2
Для удобства можно изображать силу трения от центра тела

Алгоритм решения задач по динамике
1. Сделать рисунок, на котором обозначить направление координатных
осей, ускорения и всех сил, приложенных к телу
2. Для каждого тела записать в векторном виде уравнение второго закона Ньютона, перечислив в его правой части в любом порядке все силы, приложенные к телу ( обязательно проверить, чтобы количество сил на рисунке и в уравнении совпадало)
3. Записать полученные в п. 2 уравнения в проекции на оси координат
5. Найти численное значение неизвестной величины, если этого
требует условие задачи
4. Из полученного уравнения (системы уравнений) выразить неизвестную величину

Движение тел
в горизонтальном направлении
Какая горизонтальная сила потребуется, чтобы тело массой 2 кг,
лежащее на горизонтальной поверхности, начало скользить по ней
с ускорением 0,2 м/с2 ? Коэффициент трения принять равным 0,02.
Дано:
m=2 кг
μ = 0,02
а = 0,2 м/с2
F - ?
Решение:
1
mg
Fтр
N
F
а
X
ma = mg + Fтр + N + F
3
0X :
ma = 0 - Fтр + 0 + F (1)
0Y :
0 = - mg + 0 + N + 0 (2)
из (2) : mg =N , т. к. Fтр = μN ,
получим уравнение (1) в виде:
ma = -μmg+ F
Откуда F = ma + μmg
4
2
5
Вычислим F= 0,79 Н
Ответ: F= 0,79 Н
у

m1g
Два тела массами 50 г и 100 г связаны нитью и лежат на гладкой
(μ = 0) горизонтальной поверхности. С какой силой можно тянуть
первое тело, чтобы нить, выдерживающая максимальную силу
натяжения 5 Н, не оборвалась? ( Нить невесома, нерастяжима).
Дано:
m1= 50 г = 0,05 кг
m2= 100 г = 0,1 кг
F - ?
Т = 5 Н
N1
F
N2
Т
Т
m2g
Решение:
Х
У
а
m1a = m1g + Т + N1 + F
m2a = m2g + Т + N2
1
2
3
m1a = – Т + F (1)
0Х :
m2a = Т (2)
4
Выражая из (2) : а = Т/m2 ,
и подставляя в (1), получим
m1 Т/m2 = – T + F
F = m1 T/m2 + Т
5
F = 0,05 кг . 5Н/ 0,1 кг + 5 Н = 7,5 Н
Ответ: F= 7,5 Н
μ = 0
а1= а2= а,
Т1 = Т2= Т

Автодрезина ведет равноускоренно две платформы массами 12 т и 8 т.
Сила тяги, развиваемая дрезиной , равна 1,78 кН. Коэффициент трения
равен 0,06. С какой слой натянута сцепка между платформами?
( Сцепку считать невесомой и нерастяжимой)
Дано:
m1= 12 т = 12 000 кг
m2= 8 т = 8 000 кг
F = 1,78 кН = 1780 Н
μ = 0,06
Т - ?
1
Решение:
m1g
N1
F
N2
Т
Т
m2g
Х
У
а
Fтр2
Fтр1
2
m1a = m1g + Т+ N1+ F +Fтр1
m2a = m2g + Т + N2 +Fтр2
3
0Х: m1a = - Т+ F - Fтр1 (1)
m2a = Т - Fтр2 (2)
0У: 0 = -m1g + N1, откуда N1 = m1g (3)
0 = -m2g + N2 , откуда N2 = m2g (4)
Fтр1 = μ N1= μ m1g ,
Fтр2 = μ N2 = μ m2 g
4
m1a = -Т+ F - μ m1g (5)
m2 a = Т - μ m2 g , a =
Т - μ m2 g
m2
С учетом (3) и (4) для сил трения имеем:
Подставив эти выражения в (1) и (2), получим:
После подстановки (6) в (5) остается
выразить Т:
(6)
Т = m2F / (m1 + m2) = 712 Н
Ответ: Т = 712 Н
а1= а2= а,
Т1 = Т2= Т

Движение по вертикали. Блоки
Два тела, связанные друг с другом, поднимают на нити вертикально
вверх, прикладывая силу 5 Н. Масса первого тела 100 г , второго
200 г. Определите ускорение, с которым движутся тела и силу
натяжения нити. ( Нить невесома , нерастяжима).
Дано:
m1= 100 г = 0,1 кг
m2= 200 г = 0,2 кг
a - ? T - ?
F = 6 Н
1
m1g
T
T
F
m2g
а
m1a = m1g + Т+ F
m2a = m2g + Т
2
Решение:
0У: m1a = - m1g - Т + F (1)
3
У
0
m2a = - m2g + Т (2)
Сложим (1) и ( 2) :
4
m1a + m2a = - m1g + F - m2g
F - m2 g - m1g
m1 + m2
a =
, Т = m2 (g + a)
5
a = 10 м/с2 Т = 4 Н
Ответ: a = 10 м/с2, Т = 4 Н
а1= а2= а, Т1 = Т2= Т

Тело массой 50 кг придавлено к вертикальной стене силой 4 Н. Какая
сила необходима для того, чтобы перемещать его вертикально
вверх с ускорением 0,2 м/с2, если коэффициент трения 0,5 ?
μ = 0,5
а = 0,2 м/с2
F - ?
Дано:
m = 50 кг
Fдав = 4 Н
Решение:
1
У
0
F
Fдав
mg
N
а
Fтр
ma = mg + Fдав + N + F + Fтр
2
Х
3
0У: ma = - mg - Fтр + F (1)
0Х: 0 = – Fдав + N (2)
4
Из (2):
N = Fдав
Имеем, Fтр = μ N = μ Fдав
Подставим это выражение в (1) :
ma = - mg - μ Fдав + F
F = mg + μ Fдав + ma
F = m (а + g) + μ Fдав
5
F = 50 кг (0,2 м/с2 + 9,8 м/с2) + 0,5 . 4 Н = 502 Н.
Ответ: F = 502 Н

К концам легкой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок, подвешены грузы массами 2 кг и 1 кг. Определите ускорение грузов.
T
Дано:
m1= 2 кг
m2= 1 кг
а - ?
У
0
m2g
m1g
T
а
а
Решение:
1
m1a = m1g + Т
m2a = m2g + Т
2
0У: - m1a = - m1g + Т (1)
3
m2a = - m2g + Т (2)
4
Вычтем из (2) (1) и выразим а :
m2a + m1a = m1g - m2g
a =
m1g - m2g
m2+ m1
5
a =
9,8 м/с2 (2 кг– 1 кг)
1 кг + 2 кг
= 3,3 м/с2
Ответ: а = 3,3 м/с2
а1= а2 = а,
Т1 = Т2 = Т

T
К концам легкой нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок, подвешены грузы массами 2 кг и 1 кг. Систему грузов вместе с блоком поднимают вертикально вверх с ускорением 1 м/с2. Определите ускорения грузов.
Дано:
m1= 2 кг
m2= 1 кг
а0 = 1 м/с2
а1 - ?
а2 - ?
У
0
m2g
m1g
T
а1
а2
Решение:
1
а0
Каждый груз участвует в двух движениях:
перемещается относительно блока с
ускорением а
вместе с блоком перемещается относительно земли с ускорением а0
Предположим, что а > а0 , тогда относительно земли в проекции на 0У:
2
- а1 = - а + а0 , а2 = а + а0 ,=>
m1a = m1g + Т
m2a = m2g + Т
а2 = 2а0 + а1
- m1a1 = - m1g + Т
m2a2 = - m2g + Т
3
4
Решая систему, получим формулу для а1 :
а1 =
g (m1 - m2) - 2m2a0
m1 - m2
= 2,6 м/с2
а2 = 4,6 м/с2
Ответ: а1 = 2,6 м/с2
, а2 = 4,6 м/с2
Т1 = Т2 = Т
Случаи с другим соотношением ускорений
рассмотреть самостоятельно

Движение по наклонной плоскости
ВАЖНО ПОМНИТЬ
mg
N
F
Fтр.
Для тела, расположенного
на наклонной плоскости ,
целесообразно выбирать оси
координат таким образом, чтобы
ось Ох располагалась вдоль,
а ось Оу – перпендикулярно
наклонной плоскости
(не нужно путать целесообразность
с обязательностью)
α
Тогда для проекции сил на оси координат
получим следующие выражения:
Fх. = Fcos α, Fу = Fsin α
mgх. = mgsin α , mgу = - mgcos α
Nx = 0,
Ny = N
Fтр x= - Fтр., Fтр у = 0 .

На брусок массой m действует горизонтальная сила F, параллельная
основанию наклонной плоскости с углом при основании a. С каким
ускорением движется брусок к вершине, если коэффициент трения μ ?
mg
N
F
Fтр.
α
У
Х
0
а
Дано:
Решение:
F ;
m;
α;
μ
а - ?
ma = mg + Fтр + N + F
1
2
3
0Х: ma = – Fтр – mgsin α + Fcos α (1)
0У: 0 = – mgcos α +N – Fsin α (2)
4
из (2): N = mgcos α + Fsin α ,
Fтр = N μ = μ (mgcos α + Fsin α )
ma = – μ (mgcos α + Fsin α ) – mgsin α + Fcos α
– μ (mgcos α + Fsin α ) - mgsin α + Fcos α
m
Ответ:
– μ (mg cos α + Fsin α ) - mgsin α + Fcos α
a =
m
a =

α
β
m1g
m2g
N1
N2
T
T
У
У
Х
Х
а
а
С каким ускорением будут двигаться грузы массами 2 кг и 4 кг,
если α =300, β =600. Найти натяжение нити. Блоки и нить невесомы, трением пренебречь.
m1= 2 кг
m2= 4 кг
Дано:
Α = 300
β = 600
а - ?
Решение:
1
2
Удобно выбрать для каждого тела свою
систему координат (как на рисунке)
m1a = m1g + Т+ N1
m2a = m2g + Т + N2
3
0Х: m1a = – m1gsinα + Т (1)
0У: 0 = – m1gcosα +N1 (2)
0Х: m2a = m2gsin β – Т (3)
0У: 0 = – m1gcos β + N2 (4)
4
Складывая (1) и (3), и выражая
ускорение, получим:
g (m2sin β - m1sinα)
a =
m2+ m1
Т = 17,8 H
T = m1a + m1gsin α
5
a = 4 м/с2
Ответ: а = 4 м/с2 , T = 17,8 H
а1= а2= а, Т1 = Т2= Т

α
У
Х
FN1
N2
m1g
m2g
T
T
Fтр.
Fтр1.1
Человек массой m1 , упираясь ногами в ящик массой m2 подтягивает его
с помощью каната, перекинутого через блок, по наклонной плоскости с углом
наклона а. С какой минимальной силой нужно тянуть канат, чтобы подтянуть
ящик к блоку? Коэффициент трения между ящиком и наклонной плоскостью μ.
« На десерт»
1
Дано:
m1;
m2 ;
μ;
а;
T- ?
Сила будет минимальной при равномерном движении
2
0 = m1g + Т+ N1+Fтр1
0 = m2g + Т + N2 +Fтр1+ Fтр+ FN1
3
0Х: 0 = - m1g sinα + Т - Fтр1 (1)
0 = - m2g sin α + Т +Fтр1 – Fтр (2)
0У: 0 = - m1g cosα + N1 (3)
0 = - m2g cos α + N2 - FN1 (4)
N1
FN1 = N1 = m1g cosα
Складывая (1) и (2), получим:
2Т = g sin α(m1 + m2) + Fтр
Fтр = μ N2 = μ (m2g cos α + FN1) =
= μ g cosα (m1 + m2)
Т = g (m1 + m2)(sin α + μ cos α)/ 2

Шары массами m1 ,m2 ,m3 подвешены к потолку с помощью двух
невесомых пружин и легкой нити. Система покоится. Определите
силу натяжения нити . Определите направление и модуль ускорения шара массой m1 сразу после пережигания нити.
m1g
T
T
m2g
Fупр1.
Fупр2.
Fупр2.
m3g
m1;
m2 ;
m3 ;
а-?
T-?
Дано:
Решение:
У
0
а
1. Для ясности можно провести «мысленный
эксперимент» – представить, что в середине
нити находится динамометр. Получается ,
что к нему прикрепили грузы массами m2 и m3.
Естественно, его показания будут равны:
Т = g (m2 + m3 )
2. В момент пережигания нити на верхний шар
действуют только две силы : Fупр1. и m1g , которые
и сообщают шару ускорение.
m1a = m1g +Fупр1
Fупр1 = g (m1 + m 2 + m3 ) ( см. п.1 )
a = g (m2 + m3 ) / m1
Окончательно после преобразований получим:

α
Х
FN1
N2
m1g
m2g
T
1
У
T
Fтр.1
N1
К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с
массами m1= m и m2 = 4m, находящиеся на гладкой наклонной
плоскости с углом наклона 300. При каком минимальном значении
коэффициента трения между брусками они будут покоиться?
m1= m
m2 = 4m
а = 300
μ - ?
Дано:
Решение:
m1a = m1g + Т+ N1+Fтр
m2a = m2g + Т + N2 +Fтр+ FN1
0Х : 0 = - m1g sinα + Т- Fтр (1)
0 = - m2g sinα + Т +Fтр (2)
0У: 0 = - m1g cosα + N1 (3)
0 = - m2g cosα + N2 - FN1 (4)
Из (3): N1 = m1g cosα
Из (4): N2 = m2g cosα + FN1
N1 = FN1 , поэтому
N2 = m2g cos а - m1g cos а
Вычтем из (1) (2) и учитывая, что
Fтр = Fтр
получим:
2
2 Fтр = m2g sinα - m1g sinα
Fтр = μ N1 = μ m1g cosα
μ =
m2g sinα - m1g sinα
2m1g cos α
3 tgα
=
2
3
4
5