Электричество и магнетизм. Лекция № 3

ЛЕКЦИЯ № 3
1. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Потенциал и разность потенциалов.
2. Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля.
3. Связь напряжённости и потенциала электростатического поля.
4. Эквипотенциальные поверхности

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Потенциал.
Рассмотрим произвольное перемещение (1–а–2) заряда q в электростатическом поле. Пусть поле создаётся неподвижным точечным зарядом Q
на перемещении электрическая сила совершит работу
.
.

Вычислим работу кулоновской силы при перемещении заряда q из точки 1 в положение 2 (по любой траектории):
Вывод:
Кулоновская сила консервативна.
Cилы, работа которых не зависит от вида траектории и определяется только положением её начальной и конечной точек, называются консервативными.

Величина работы никак не связана с видом траектории. Она зависит только от положения её начальной (r1) и конечной (r2) точек.
В механике было показано, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии системы:
В последней формуле мы получили:

Потенциальная энергия системы двух точечных зарядов, или, что то же самое, энергия заряда q в электрическом поле точечного заряда Q :
Константа принимается обычно равной нулю. Это означает, что принимается равной нулю энергия взаимодействия зарядов q и Q на бесконечном удалении их друг от друга (при r = ∞). Тогда на расстоянии r энергия взаимодействия равна:

Потенциальная энергия заряженной частицы в электрическом поле зависит, таким образом, от величины заряда q и от его положения в поле относительно заряда Q, создающего поле.
Энергия единичного (q = 1) точечного заряда уже не будет связана с величиной этого пробного заряда q и может быть принята в качестве энергетической характеристики данной точки электростатического поля:
- потенциал точечного
заряда Q

Можно придать потенциалу и иной физический смысл.
Поместим заряд q в поле точечного заряда Q. Первоначально расстояние между зарядами — r.
Отпустим заряд q. Под действием электрической силы отталкивания заряд q удалится в бесконечность. На этом перемещении кулоновская сила совершит работу:
Получаем:

Потенциал некоторой точки электростатического поля равен работе, совершаемой электрической силой при удалении единичного положительного заряда из этой точки в бесконечность.
Теперь вычислим потенциал поля, созданного системой точечных зарядов Q1, Q2, …, QN.
При перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность электрическая сила совершит работу, равную алгебраической сумме работ сил, действующих на движущийся заряд со стороны зарядов Q1, Q2, …, QN

Работа каждой силы равна:
Здесь
— потенциал поля, создаваемого в
точке 1 зарядом Qi.
Таким образом, суммарная работа равна:
где
Потенциал поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точке каждым из зарядов в отдельности:
- принцип суперпозиции для потенциала

Разность потенциалов.
Обратимся к вычислению работы электрической силы при перемещении заряда q из точки 1 теперь уже произвольного электростатического поля в бесконечность. Поскольку эта работа не зависит от формы траектории, унося заряд в бесконечность, пройдём предварительно точку 2 электростатического поля.
Работа на этом перемещении складывается из двух частей:
Разделив это равенство на величину переносимого заряда q, получим:

или:
Здесь — разность
потенциалов двух
точек поля.
Разность потенциалов равна работе, совершаемой электрической силой при перемещении единичного положительного заряда из начальной точки в конечную:

Зная разность потенциалов двух точек поля, легко вычислить работу электрического поля, совершаемую при перемещении заряда q между этими точками:
В международной системе единиц СИ потенциал (и разность потенциалов) измеряется в вольтах:
- потенциал
- разность потенциалов

Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля
Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.
1. Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.
2. Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории. Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила, а работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:
Поделив на q, получим:
Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатичес-кого поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Связь напряжённости и потенциала электростатического поля
Для отыскания связи, вычислим работу электрической силы на элементарном перемещении dl заряда q в электростатическом поле .
Эту же работу можно связать с разностью потенциалов (ϕ1 – ϕ2) = –(ϕ2 – ϕ1) = –dϕ:
Объединив, получим:
Eldl = –dϕ или

Здесь El — проекция вектора напряжённости поля на направление перемещения, а — изменение потенциала при переходе в поле из точки 1 в точку 2.
Записав для направлений x, y и z, получим соответствующие составляющие (проекции) вектора напряжённости:
Первое уравнение этой системы означает, что проекция вектора напряжённости на ось x равна частной производной потенциала по x, взятой с противоположным знаком. Аналогично для y и z.

Полный вектор напряжённости можно представить в виде векторной суммы:
Последнее уравнение принято записывать так:
Здесь векторный оператор «градиент» - grad:

Последнее уравнение устанавливает искомую связь двух характеристик электростатического поля — напряжённости и потенциала: напряжённость электростатического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком:
Единица измерения напряжённости электрического поля:

Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке.
Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля
найти разность
потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Эквипотенциальные поверхности
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.
Уравнение этой поверхности (пунктиры на рис.)