Механика. Лекция 6. Момент инерции. Уравнение моментов

Вес тела и сила тяжести
Весом тела называется сила, с которой тело действует на опору или подвес вследствие гравитационного притяжения.
В условиях Земли – вследствие притяжения к Земле. Вес тела не надо путать с силой тяжести P = mg, где g - одинаковое для всех тел вблизи вращающейся (т.е. во вращающейся системе отсчета) поверхности Земли ускорение, называемое ускорением свободного падения. P хотя и обусловлена притяжением тел к Земле но результат двух сил и не равна силе гравитационного притяжения тела Fg из-за действия Fцб .

Различие силы тяжести и веса
На любое тело, находящееся на поверхности Земли (кроме полюса) действует центробежная сила инерции Fцб , что и приводит к некоторому
различию силы тяжести P и силы гравитационного притяжения Fg как по величине, так и по направлению. Те во вращающейся системе отсчета складываем два вектора P=mg=Fg+Fцб ׀Fцб׀=mωЗ2RЗcos ϕ
Результирующая сила направлена не к центру Земли. Максимальное различие получается на экваторе и составляет 0,3% от силы P. На экваторе на тело массой 1 кг действует Fцб=0.0337Н=1/291 mgh. Т.е. в ряде случаев ей можно пренебречь. Угол между направлениями векторов P и Fg также очень мал и его max значение равно 0,0018 рад (на широте 45 градусов).

Момент инерции МТ относительно оси вращения
Величина угловой скорости
При вращении по окружности момент импульса МТ L относительно точки О: и направления векторов L и ω не совпадают если точка О не в центре окружности. Если движение идет по окружности и точка О’ в центре окружности, то направления векторов L’ и ω совпадают.
Изменение угловой скорости со временем определяется вектором углового ускорения
Скалярная величина называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения.
L
L’
O’

Уравнение моментов для материальной точки
Как уже говорилось момент импульса МТ, двигающейся по окружности:
Производная по времени равна:
В соответствии с законом изменения момента импульса для МТ получаем:

Абсолютно твердое тело
Под твердым телом будем подразумевать абсолютно твердое тело, в котором расстояния между любыми двумя точками неизменны. Твердое тело можно представить как совокупность большого количества очень малых масс , которые можно считать МТ. Теорема о движении центра масс твердого тела:
центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, и к которой приложены все внешние силы, действующие на тело. Т.е. раньше мы говорили о МТ и о системе МТ и ее центре масс, теперь еще и об абсолютно твердом теле.

Момент инерции твердого тела
Твердое тело можно представить как систему МТ, удерживаемых внутренними силами на неизменных расстояниях друг от друга и по аналогии с МТ записать:
Пусть момент импульса i-й частицы , ri — радиус окружности, по которой движется МТ относительно оси вращения тела. Направление Li относительно оси вращения всех точек тела одинаковое, так как в каждый момент времени направление и величина угловых скоростей всех точек одинаковы (тело твердое).
Величина называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Направление векторов L и ω совпадают только в случае симметричного тела.

Уравнением моментов
Как и в случае с МТ можно сопоставить все величины для поступательного и вращательного движения.
Заменив в выражении для кинетической энергии
массу на момент инерции I, а скорость v на угловую скорость ω получим кинетическую энергию вращающегося вокруг неподвижной оси тела или просто подставив v=ωR:
Подставим момент импульса тела
Это закон изменения момента импульса твердого тела или основной закон динамики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Скамья Жуковского Т=const ? Произведение момента инерции на угловую скорость в замкнутой системе (N=0) остается постоянным?
Видео с вращением штанги.

Момент инерции сложных тел
Для полного определения момента инерции более сложных тел выражение следует уточнить, устремив элемент к нулю и найдя соответствующий предел:
Как известно, такой предел называется интегралом:
Интегрирование производится по всему объему тела V. Если плотность тела ρ постоянна, то ρ можно вынести из под знака интегрирования. Но даже для яйца (желток, белок и скорлупа имеют разную плотность)! Земля?

Момент инерции полого цилиндра
Найдем момент инерции полого цилиндра относительно его оси симметрии ОО.
где m — масса цилиндра.
Итак, момент инерции полого цилиндра прямо не зависит от высоты этого цилиндра (косвенно естественно зависит так как чем больше высота тем больше площадь и масса). Точно также выглядит и выражение для момента инерции обруча.

Момент инерции сплошного цилиндра и однородного шара
Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии ОО можно найти разбив его на цилиндры радиуса r и толщиной dr. Так как объем одного слоя равен dV=2πrhdr то
- плотность, dr и h –толщина и высота цилиндра . А у полого цилиндра было mR2. Чем дальше удалена масса от центра тем больше I. При равных m и R у полого момент инерции I в 2 раза больше
Опыт с двумя скатывающимися цилиндрами.
Опыт со скатыванием пенопласта не через главную ось

Фигуристка на льду и Торнадо:
Что общего?
Сохранение кинетической энергии? Приблизительно !
Торнадо – увеличивается масса того, что поднято с Земли - увеличивается момент инерции и увеличивается кинетическая энергия. Как зависит I от радиуса торнадо ? Узнаем чуть позже ~ R2
Куда расходуется кинетическая энергия? Вспомним :
машины, цунами, лавины…..

Демонстрации на момент инерции
Гироскопы не путать с гороскопами
Волчки
Прошу принести на следующую лекцию два куриных яйца. Одно сырое, другое сваренное вкрутую. Лучше кто живет в общежитии
Китайский волчок (момент силы трения)
Кусок пенопласта 3 оси (при вращении выходит на главную ось)
Палочки кельтов (срезаны наискосок)

Условия равновесия твердого тела
В общем случае для равновесия абсолютно твердого тела необходимо выполнение двух условий.
Сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:
Сумма моментов внешних сил относительно любой точки должна быть равна нулю:
http://www.youtube.com/watch?v=n_6p-1J551Y

Момент инерции в природе
Самолеты убирают шасси во время полета, а, например, пчелы, напротив, вытягивают вперед задние лапки для того, чтобы лететь устойчиво с большей скоростью.
При максимальной скорости в 7.25 м/с пчелы теряют вращательную устойчивость. Это говорит о том, что скорость пчелы ограничивает не сила мускулов или амплитуда машущих крыльев, а наклон тела и умение балансировать в неустойчивом положении. Т.е. определенной скорости пчелы умеют управлять своим моментом инерции и изменять момент импульса так, чтобы обеспечить условия равновесия (нулевую сумму моментов внешних сил).

Факультативно: приливы, отливы и не только?
Гравитация действует не только на Земле. Земля притягивается силами гравитации к другим телам, включая Солнце и Луну. Луна 19 марта 2011 подошла к Земле на самое близкое расстояние, начиная с 1992 года. Предыдущие фазы максимального сближения происходили в 1955, 1974, 1992 и 2005 годах.
2005 - мощный цунами Индонезии за две недели до перигея.
1974 - циклон Трэйси в австралийском городе Дарви.
Возможное проявление воздействия дополнительных сил и/или моментов сил, нарушающих равновесное состояние плит внутри Земли ?

Механика поступательного и вращательно движения относительно неподвижной оси
Все выражения для МТ и для твердого тела внешне очень похожи. 2-го закон Ньютона:
Аналогами также являются: координата х - угол ϕ, линейной скорости v - угловая скорость ω , линейного ускорения a - угловое ускорение β , массы m - момент инерции I, силы F - момент силы N, импульса р - момент импульса L, кинетическая энергия mv2/2 - кинетическая энергия Iω2/2, работа dA=Fsds - работа dA=Nω dϕ мощность P=Fvv - P=Nω ω

Момент инерции сплошного однородного шара. Земля?
11 марта 2011 года (мистика? нет! а разрушение двух небоскребов в США 11 сентября 2001 года ?) в Японии произошла серия сильнейших за 140 лет землетрясений, силой до 8,9 по шкале Рихтера, что спровоцировало цунами . Волна высотой до 10 метров проникла вглубь на несколько километров, и израсходовали свою кинетическую энергию на уничтожение всего на своем пути. Ось вращения Земли после японского землетрясения могла кратковременно сместиться на 10-15 см. Печальное следствие . По сути тот же гироскоп, который мы уже обсуждали. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
Для оценки если масса Земли приблизительно равна 6×1024 кг и считая Землю однородным шаром радиусом 6,4х106 м. Можно оценить I=9.8х1037 кг м2. Близко! Так как общепринятое значение 8х1037 кг м2. На самом деле моменты инерции внутреннего ядра, внешнего ядра , мантии и коры могут отличаться и лежать в диапазоне от 5.8х1034 до 7х1037 кг м2
http://lnfm1.sai.msu.ru/~chujkova/Trudi/zharov.htm

Факультативно: Безразмерный момент инерции
Безразмерный момент инерции твердого тела радиуса R и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции МТ той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии R. Как мы уже знаем МТ отличается от однородного шара на 2/5=0.4
Безразмерный момент инерции Земли равен 0,335, что меньше, чем у шара и что является аргументом в пользу неравномерного распределения массы (существования плотного ядра).

Факультативно: ядро Земли кристалл?

Теорема Штейнера
Зная момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно произвольной оси вычисляют по теореме Штейнера:
момент инерции относительно произвольной оси I равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями d.
Вспомним опыт с гантелями на скамье Жуковского