Элементы линейной алгебры в электротехнике (электронное учебное пособие)

Цели проекта:
Исследовать возможность применения знаний элементов линейной алгебры на занятиях электротехники
Создать электронное учебное пособие, позволяющие систематизировать знания учащихся по темам «Элементы линейной алгебры»» и «Расчет электрической цепи».
Данное пособие можно использовать как при проведении уроков математики и электротехники (частично), так и при проведении бинарных уроков и самостоятельной подготовки студентов.

Структура электронного учебного пособия
Пособие состоит из трех частей:
Элементы линейной алгебры (теоретический материал)
Электротехника (Расчет электрической цепи с помощью законов Киргофа) (теоретический материал)
Электротехническая задача
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в Excel
Все учебное пособие снабжено гиперссылками, позволяющими легко находить интересующий материал. Так как наше пособие можно использовать как при изучении нового материала, так и при повторении пройденного, смена слайдов осуществляется по щелчку, позволяя работать с материалом в любом темпе.
Немного изменяя анимацию, преподаватель имеет возможность использовать теоретический материал как при изучения нового, так и для контроля.

Элементы линейной алгебры в электротехнике
Выполнил: Вараксин Р.А. гр.203
Преподаватели: Никитина Н.В., Касаткина И.С.

Содержание
Элементы линейной алгебры
Электротехника
Электротехническая задача
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в Excel

Содержание
Определение матрицы
Виды матриц
Действия над матрицами
Системы линейных уравнений и их решения
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Историческая справка

Определение матрицы
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.
Для краткого обозначения матрицы используется большая латинская буква, например A или символ (aij)
A= (aij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n;)

Элементы матриц и их обозначения
Числа aij, входящие в состав матрицы, называются ее элементами.
Здесь i — номер строки матрицы,
j — номер столбца матрицы.

Виды матриц
Прямоугольная Квадратная
(m ≠n) (m=n)
Для квадратной матрицы определено понятие диагоналей
Частные случаи
Частные случаи

Прямоугольная матрица
Если в матрице типа m×n, m=1,то матрица называется матрица-строка
Если в матрице типа m×n, n=1,то матрица называется матрица-столбец
Например:
Например:

Квадратная матрица
Диагональная
Скалярная
Единичная
Треугольная: нижняя, верхняя

Диагонали матриц
Диагональ, содержащую элементы а11,а22,…, аmn, будем называть главной,
а диагональ ,содержащую элементы a1n,a22,…,am1 –
побочной (вспомогательной)

Диагональная матрица
Матрица называется диагональной, если все элементы матрицы, кроме элементов главной диагонали равны 0
Например:

Скалярная матрица
Если все элементы главной диагонали диагональной матрицы равны между собой, то матрица называется скалярной
Например:

Единичная матрица
Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, называется единичной матрицей

Треугольная матрица
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали равны 0, называется треугольной матрицей.
Если элементы, равные 0 стоят выше главной диагонали ,то это верхняя треугольная матрица,
если элементы равные 0 стоят ниже главной диагонали, то это нижняя треугольная матрица

Действия над матрицами
Сложение
Умножение матрицы на число
Транспонирование
Умножение матриц

Сложение матриц
Определение: Суммой двух матриц А и В называется
матрица С, элементы которой равны сумме
соответствующих элементов матриц А и В.
Можно складывать только матрицы одинакового типа или порядка
Например:
Свойства сложения

Свойства сложения матриц
Переместительный закон сложения:
А+В = В+А, где А и В – либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m×n
Сочетательный закон сложения:
(А+В)+С=А+(В+С), где А и В – либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m×n
Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что
А+(-А)=0

Умножение матрицы на число
Определение: Произведением матрицы А на число k называется матрица С, каждый элемент которой равен
произведению соответствующего элемента матрицы А и k.
Например:

Транспонирование матрицы
Определение: Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы.
Например:

Умножение матриц
Что бы получить элемент, стоящий на пересечении строки и столбца матрицы-произведения, нужно все элементы строки матрицы А умножить на соответствующие элементы столбца матрицы B и полученные результаты сложить
Например:
Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В
Свойства умножения

Свойства умножения матриц
Произведение не подчиняется переместительному закону:
А·В ≠ В·А
Сочетательный закон умножения:
(А·В)·С=А·(В·С)
Распределительный закон умножения:
(А+В)·С=А·С+В·С
Возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Системы линейных уравнений

Решение уравнений методом Гаусса

«Математика – царица всех наук»
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855 г.г.) – немецкий математик, физик, астроном, геодезист.
Круг его интересов в точных науках:
• теория чисел (числа простые и периодические дроби), • геометрия (правильные многоугольники,
теория поверхностей),
• алгебра (доказательство основной теоремы алгебры о числе корней алгебраического уравнения),
• астрономия (вычисление орбит планет),
• физика (электромагнетизм).
Труды К. Гаусса изданы в Германии в 12-ти томах.

В чем его суть?
Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (систему называют эквивалентной, если множества их решений совпадают).
Эти действия называют прямым ходом.
Из полученной матрицы треугольной системы переменные находят с помощью последовательных постановок, такие действия называют обратным ходом
Пример

Прямой ход
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
Умножение и деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число
Сложение и вычитание уравнений
Перестановка уравнений системы
Исключение из системы уравнения, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю

Содержание
Электрическая схема (справочный материал)
Расчет цепи постоянного тока
Алгоритм расчета цепей методом уравнений Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа
Второй закон Киргхофа
Количество уравнений

Расчет цепей постоянного тока сводится к нахождению токов, протекающих по ветвям цепи путем составления системы уравнений методом Кирхгофа

Электрическая Схема - графическое изображение электрических цепейэлектронных, электро- или радиотехнических устройств, на котором условнымиобозначениями показаны элементы данного устройства и соединения между ними.

Узел- место соединения трех
и более ветвей
А
B
C
D

Ветвь – участок цепи между
двумя узлами
А
B
C
D
АВ
АС
АD
BD
BC
DC

Алгоритм расчета цепей методом
уравнений Кирхгофа
1. Определить узлы и ветви в схеме
2. Определить количество уравнений
3. Обозначить токи в ветвях
4. Составить уравнения по первому закону Кирхгофа
5. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа
Сумма токов в узле равна нулю
∑I=0
Если ток входит в узел, то пишем знак «+»
Если ток выходит их узла, то пишем «-».

В каждой ветви протекает свой ток, причем направление тока в ветви выбирается произвольно.
А
B
C
D
I1
I2
I3
I4
I5
I6

Первый закон Кирxгофа для данной схемы
А: I1+I2-I3=0
B: -I1-I4-I5=0
C: -I2+I5+I6=0
D: I3+I4-I6=0
А
B
C
D
I1
I2
I3
I4
I5
I6

Первый закон Кирхгофа для данной схемы
А: I1+I2-I3=0
B: -I1-I4-I5=0
C: -I2+I5+I6=0
D: I3+I4-I6=0
А
B
C
D
I1
I2
I3
I4
I5
I6

Второй закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения этого контура.
∑Е=∑I·R
Контур – любой замкнутый путь тока в цепи. проходящий по нескольким ветвям.
Направление обхода в контуре выбирается произвольно.

Второй закон Кирxгофа
для данной схемы
ADBA:
E1=I3·R6-I4·R3+I1·R4
BDCB:
-E1=I4·R3+I6·R1-I5·R5
ACA:
E2=-I2·R2-I6·R1-I3·R6
А
B
C
D
I1
I2
I3
I4
I5
I6

Количество уравнений
Общее количество уравнений равно числу ветвей.
Из них количество уравнений по первому закону составляет на единицу меньше количества узлов.
А количество уравнений по второму закону равно количеству независимых контуров.
Для представленной схемы:
Общее количество уравнений:
По первому закону Кирхгофа:
По второму закону Кирхгофа:
6
3
3

Система уравнений с 6 неизвестными:
1. I1+I2-I3=0
2. -I1-I4-I5=0
3. -I2+I5+I6=0
4. E1=I3·R6-I4·R3+I1·R4
5. -E1=I4·R3+I6·R1-I5·R5
6. E2= -I2·R2-I6·R1-I3·R6

Электротехническая задача
Дано:
R1=2Ом
R2=3Ом
R3=5Ом
R4=2Ом
R5=4Ом
R6=1Ом
E1=10B
E2=40B
Найти: I1-I6-?
А
B
C
D
I3
I4
I6
Дана электрическая цепь с заданными параметрами. Найти протекающие токи.

1. Составим расширенную матрицу по условию задачи
2. От 2 и 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на -1 и 2
3. от 1, 3, 4, и 6 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 1; -1; -2; -3
Решим систему методом Гаусса
4. 3-ую строку делим на -1

5. от 2, 4 и 6 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на -1; 1; -4
6. 4-ую строку делим на -8
7. от 1, 3, 5 и 6 строк отнимаем 4 строку, умноженную соответственно на 1; 1; 4; 1
8. 5-ую строку делим на -5

9. от 1, 2, 3, 4 и 6 строк отнимаем 5 строку, умноженную соответственно на 0,75; -1; -0,25; 0,25; -3,25
10. 6-ую строку делим на -5,85
11. от 1, 2, 3, 4 и 5 строк отнимаем 6 строку, умноженную соответственно на 0,35; -1,3; -0,95; -0,05; -0,3
12. найдем приближенные значения

Найдем силы тока
Вывод: Если ток получился отрицательным, то нужно изменить направление тока в ветви на противоположное.
Ответ:
Решение СЛУ в Excel