Кинематика твердого тела. Плоское движение. Определение ускорений точек

Вывод. Ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой - нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса, то есть
Определение ускорений точек плоской фигуры
Этот вывод основывается на положении о том, что плоское движение раскладывается на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное движение вокруг полюса.
(1)

может быть разложено на нормальное и касательное ускорения
Если полюс А движется по криволинейной траектории, то (2) примет вид
будет направлен ⊥ к отрезку МА в сторону ε.
будет направлен к полюсу А, а аМАτ = ε · МА и вектор
где аМАn= ω 2 · АМ и вектор
Тогда (1) примет вид:
Ускорение
(2)
(3)

обычно удается определить, поэтому для нахождения полного ускорения можно применять метод проекций.
Проектируя векторное равенство (3) на оси координат, получим:
Вычисляя правые части в выражениях (4) найдем проекции вектора полного ускорения на оси координат, тогда его модуль и направление определиться по формулам:
Модули и направления ускорений:
аМх = аАхn + аАхτ + аМАхn + аМАх τ,
аМz = аАzn + аАzτ + аМАzn + аМАzτ.
аМу= аАуn + аАхτ + аМАуn + аМАу τ,
(4)

Центр С, движущегося в вертикальной плоскости диска, имеет уравнения движения хС = 2t (м) и уС = - t 2 +1 (м). Закон вращения диска вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости, ϕ = π t 2/4 (рад). Радиус диска R = 1 м.
Пример определения ускорений точек плоской фигуры
Решение
1. Определим положение диска и точки М в момент времени t1.
Координаты точки С: хС1 = 2 · 1= 2; уС 1= - 12 +1 = 0. Положение точки М определяется углом ϕ1 = π · 12/4 = π /4 = 450.
Определить ускорение точки М диска в момент времени t1=1 c.

Для определения ускорения точки М воспользуемся формулой (2), принимая в качестве полюса точку С. Тогда получим
2. Выберем полюс и применим метод проекций.
Или в проекциях на оси координат
аМх = аСх + аМСхn + аМСх τ,
аМу= аСу + аМСуn + аМСу τ.
(1)
3. Определим величины, входящие в правые части равенств (1).
(2)
Величину аМСn найдем по формуле аМСn = ω 2 · СМ =
· СМ = π t 2/4|t=1= π /4.

будет направлен к центру диска, то есть к точке С.
/8 = - 0,56,
Вектор
Проекции на оси вектора
аМСхn =- аМСn · cos 450 = -π
аМСуn = - аМСn · cos 450 = - 0,56.
(3)
Величину аМС τ найдем по формуле аМС τ = ε ·СМ =
· СМ = π /2.
Вектор
будет направлен по касательной, т. е. ⊥ отрезку СМ.
Проекции на оси вектора
аМСх τ = аМС τ · cos 450 = π ·
/ 4 = 1,11,
аМСу τ = - аМС τ · cos 450 = - 1,11.
(4)
Подставляя значения (2) – (4) в выражения (1), получим
аМх = 0 – 0,56 + 1,11 = 0,55,
аМу= - 2 - 0,56 - 1,11 = - 3,67.