Цепи синусоидального тока. Лекция 6

Действующие значения синусоидального напряжения и тока
Математически действующее значение функции представляет собой ее среднеквадратичное значение
(3.33)

Аналогично выражаются и действующие значения электрических величин
(3.34)
где u, i – мгновенные значения напряжения, тока;
T – период функции.

Пусть, например, напряжение представляется в виде u = Umsin(ωt). Подстановка этой функции в (3.34) дает:
Действующее значение меньше амплитудного в
раз.
(3.35)

На щитках электрических машин и аппаратов переменного тока в качестве номинальных указываются действующие значения напряжений и токов.
Измерительные приборы измеряют действующие значения соответствующих величин.

Комплексные действующие значения или комплексы напряжений и токов:

Мгновенная мощность
p = u i
(3.36)

(3.37)
Мгновенная мощность является периодической функцией, изменяющейся с двойной частотой по отношению к частоте напряжения и тока.

Мгновенная мощность для сопротивления r не имеет отрицательных значений.
UI

В индуктивности L угол сдвига фаз φ=π/2, поэтому в (3.37) cos φ = 0 и кривая мгновенной мощности симметрична относительно оси времени.

Это значит, что в части периода энергия поступает от источника в индуктивность, в другой – возвращается источнику.

Активная мощность
Активная мощность определена как среднее значение мгновенной мощности:
(3.38)
(3.39)

Произведение
есть полная мощность, поэтому активная мощность записывается также в виде:
(3.40)
Единица измерения активной мощности –
ватт (Вт); полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА).

Реактивная мощность определяется формулой
Единица измерения Q – вольт-ампер реактивный (вар).

Мощность в комплексной форме или комплексная мощность
Комплексная мощность представляет собой произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока:
(3.41)

Осуществим подстановку этих значений в (3.41):
Пусть

Коэффициент мощности –
это отношение активной мощности к полной:

Баланс мощностей

Мощности Pист и Qист определяются через входное напряжение и входной ток:
С использованием выражения для комплексной мощности получим:

Составляющие Pпотр и Qпотр удобно записывать поэлементно:
При этом следует учитывать, что все составляющие активной мощности Pпотр положительны. Слагаемые Qпотр имеют разные знаки:
– индуктивные составляющие I2kxLk имеют знак «плюс»;
– емкостные составляющие I2kxCk – «минус».

Комплексные соотношения для трехэлементных электрических цепей

Рассмотрим схему с последовательным соединением элементов r, L и С.

Записываем уравнение для мгновенных значений по второму закону Кирхгофа:
или
(3.42)

Пусть
Условимся использовать запись по комплексным действующим значениям, которые в данном случае имеют вид:
тогда уравнению (3.42) в комплексной форме будет соответствовать уравнение:
(3.43)

С учетом уравнение (3.43) преобразуется в следующей последовательности:

– аргумент комплексного
где
– реактивное сопротивление;
комплексное сопротивление цепи;
– полное сопротивление или модуль комплексного сопротивления;
сопротивления, представляющий собой угол сдвига фаз между входным напряжением и током.

Установленные здесь закономерности имеют общий характер и сводятся к следующему:
Индуктивное и емкостное сопротивления в состав общего реактивного сопротивления входят с разными знаками (индуктивное – с плюсом, емкостное – с минусом).
Модуль комплексного сопротивления есть полное сопротивление.
Аргументом комплексного сопротивления всегда является угол сдвига фаз между соответствующими напряжением и током.
1.
2.
3.

Результатом решения (3.43) является комплексное действующее значение тока (комплекс тока), по которому легко записывается мгновенное значение:

Для построения векторной диаграммы выбирают масштабы действующих значений тока и напряжений (модулей комплексов).

Общей величиной для всех элементов является ток I. Поэтому вектор тока на данной диаграмме является исходным или базовым.

Векторы падений напряжения ориентированы относительно вектора тока с учетом фазовых соотношений для элементов r, L и С.

В сопротивлении r напряжение и ток совпадают по фазе.

В индуктивности напряжение опережает ток на 90º.

В емкости напряжение отстает от тока на 90º.

Направление обхода контура выбрано против тока. Векторы падений напряжения на векторной диаграмме соответствуют расположению элементов на схеме, т.е. последовательно из точки b отложены векторы Ur, UL, и UC. Геометрическая сумма этих векторов равна приложенному
напряжению U.

Векторные диаграммы такого типа называются топографическими векторными диаграммами.
Главная их особенность – соответствие расположения векторов падений напряжений расположению элементов на схеме.