Lektsia_Volny_ZS

Понятие волны. Свойства волн
Волна
процесс распространения колебаний в среде
всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени
Колебание
процесс изменения состояний системы,
повторяющийся в той или иной степени во времени
Свойства
всех волн, независимо
от их природы:
перенос энергии без переноса вещества
отличие колебания от волны
Волна НЕ переносит частицы
(они лишь колеблются около положения своего равновесия)
Переносится само возмущение среды, приводящее к колебаниям
скорость распространения волн одной природы
в данной среде постоянна

Классификация волн
По физической природе
и типу колеблющейся величины
звук
свет

Физическая природа волн
на поверхности жидкости
Электромагнитные
Упругие (механические) волны
Колебания ЭМ поля
Колебания вещества
свет
звук
возбуждают

Условия возникновения упругих волн
частицы, колеблющиеся в одной точке (плоскости) среды, воздействуют на прилегающие, заставляя их участвовать
в колебательном движении, тем самым
передавая колебательный процесс дальше
Источник волны
(частица, совершающая
гармонические колебания)
Упругая среда
(частицы которой связаны
между собой силами упругости)
+
Рассматриваем среду (жидкость, газ, твердое тело) как сплошную, отвлекаясь от молекулярного и атомного строения материи
Единственное свойство среды, которым она должна обладать
для возникновения в ней волн –
т.е. при малых деформациях среды
внутренние силы, возникающие в среде
должны быть пропорциональны деформациям
упругость
физика колебательного процесса:
Взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды

Типы волн
Поперечные
Продольные
смещение частиц среды –
ПО НАПРАВЛЕНИЮ распространения волны
смещение частиц среды –ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО распространению волны
Деформация сдвига в твердых телах, на поверхности жидкости
Деформация сжатия в газах, жидкостях, твердых телах
Сопровождается изменением плотности

Распространение волн в средах
Круговая волна на поверхности жидкости от точечного источника
Генерация акустической волны громкоговорителем

Волны на поверхности жидкости
Волны на поверхности жидкости
не являются ни продольными, ни поперечными
Если бросить на поверхность воды предмет,
то можно увидеть, что он движется, покачиваясь на волнах,
по круговой траектории
Таким образом, волна на поверхности жидкости
представляет собой результат сложения
продольного и поперечного движения частиц воды

Упругие волны
Взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды. При передаче колебаний от одних частиц к другим возникают упругие волны (звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны).
В жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн;
В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

График волны
График волны:
График колебаний:
зависимость смещения
ДАННОЙ частицы от времени
зависимость смещения
ВСЕХ частиц среды
от расстояния до источника
в данный момент времени
Время, за которое фронт волны
сместится на расстояние x
при
Длина волны
Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися
в одинаковой фазе
Расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду колебания источника
Фазовая скорость
Скорость распространения волны

Волны в среде: определения
Волновая (фазовая) поверхность
геометрическое место точек,
колеблющихся в одинаковой фазе
Волновой фронт
(фронт волны)
геометрическое место точек,
до которых доходят колебания
к данному моменту времени
Луч
линия, нормальная (⊥) волновой поверхности,
показывает направление распространения волны (направление переноса энергии)
граница между волной и пространством,
в котором волны еще нет
может быть множество
Длина волны
расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе
т.к.
то
и
или
для одной волны только один

Классификация волн
По виду волновой поверхности волны разделяются на:
Сферические
Плоские
источник БЛИЗКО (точечный)
источник ДАЛЕКО
плоскость или прямая
сфера или окружность
В плоской волне, амплитуда НЕ зависит от координаты
амплитуда ЗАВИСИТ
от координаты
(расстояния от источника)
Форма волновой поверхности
при
В случае непоглощающей среды
Форма волновой поверхности

Демонстрация типов волн
Продольная плоская
Продольная сферическая
Продольная плоская
Продольная плоская

Уравнение бегущей волны
волна, которая переносит
в пространстве энергию
Уравнение плоской бегущей волны
в непоглощающей среде
Бегущая волна
Волновое число

Уравнение волны в поглощающей среде
Уравнение плоской бегущей волны,
распространяющейся в однородной изотропной непоглощающей среде
в «+» направлении оси
наблюдается затухание волны (уменьшение интенсивности волны
по мере удаления от источника)
Если среда поглощает энергию волны:
β – коэффициент затухания
Смещение точки среды, отстоящей на расстоянии x
от точки начала отсчета (от источника) в момент времени t

Уравнение сферической волны
Амплитуда колебаний убывает по закону
Уравнение сферической волны
в НЕпоглощающей среде
Волновые поверхности – концентрические сферы
Уравнение сферической волны
в поглощающей среде
Смещение точки среды,
отстоящей на расстоянии r
от источника в момент времени t

Дифференциальное волновое уравнение
т.к. смещение частицы среды зависит
не только от времени, но и от расстояния до источника,
то дифференцируем и по t, и по x
Уравнение плоской бегущей волны,
распространяющейся в однородной изотропной непоглощающей среде
в «+» направлении оси
Получаем дифференциальное уравнение в частных производных:
Разделим левое уравнение на правое:
– волновая функция
Решением этого уравнения являются уравнения волны, рассмотренные выше

Волновое уравнение
Распространение волн в однородной среде
в общем случае описывается волновым уравнением –
дифференциальным уравнением в частных производных:
оператор Лапласа (лапласиан):
Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, описывает некоторую волну,
– фазовая скорость волны
Для волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение упрощается:
плоская волна
т.е. решением волнового уравнения является уравнение любой волны:
оператор набла, оператор Гамильтона
сферическая волна

Перенос энергии бегущей волной
Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии частиц, совершающих колебания около положения равновесия, и потенциальной энергии упругой деформации.
Смещение частицы
Скорость частицы
Деформация

Плотность потенциальной энергии
(энергия на единицу объема)
Плотность кинетической энергии
(энергия на единицу объема)

Средняя (за период) объемная плотность
полной энергии

Энергия упругих волн
Среда, в которой распространяется волна, обладает запасом энергии
Количество энергии, переносимой волной
через некоторую поверхность за 1 с
Поток энергии
Среднее по времени
значение энергии колебаний:
Плотность
потока энергии
Объемная плотность
энергии

Для монохроматической волны среднее по времени
значение вектора Умова
среднее по времени значение плотности потока энергии, т.е. энергии,
переносимой волной за 1 с через площадку 1 м2, ⊥ направлению распространения волны
Интенсивность волны
Перенос энергии
характеризуется вектором Умова:
совпадает с направлением скорости распространения волны
Энергия, переносимая волной за 1 с через единичную площадку, ⊥ направлению распространения волны
Энергия упругих волн
Монохроматическая волна
волна, имеющая постоянную амплитуду и постоянную частоту

Николай Алексеевич Умов
23 января 1846 –
15 января 1915
Россия
Русский физик и мыслитель
1875 – решил в общем виде задачу о распределении электрических токов на проводящих поверхностях произвольного вида
1888-1891 – экспериментально исследовал диффузию веществ в водных растворах, поляризацию света
в мутных средах, открыл эффект хроматической деполяризации лучей света, падающих на матовую поверхность
1900-е гг. - провел анализ многих формул Гаусса
в теории земного магнетизма, что позволило определить вековые изменения магнитного поля Земли
Впервые ввел в науку такие основополагающие понятия, как скорость и направление движения энергии, плотность энергии в данной точке среды, пространственная локализация потока энергии
(для упругих сред)
В 1884 г. понятие потока ЭМ энергии ввел Д. Пойнтинг, используя для описания распространения энергии вектор, называемый в российской научной традиции «вектором Умова-Пойнтинга» (в западной научной традиции — «вектор Пойнтинга»)

Стоячие волны

Стоячие волны
Пусть две плоские волны бегут навстречу друг другу
Их уравнения движения:
Волны накладываются друг на друга
Амплитуду можно представить:
где
– пучность
– узел
Результирующая волна:
принцип суперпозиции
max:
min:

Стоячие волны
характерное расположение чередующихся max (пучностей)
и min (узлов) амплитуды
возникают при отражениях
от преград и неоднородностей
в результате наложения
отраженной волны на падающую
важное значение в месте отражения имеют частота, фаза и коэффициент затухания волны
узел
пучность

Свойство стоячей волны
В отличии от бегущих волн, в стоячей волне
отсутствует перенос энергии, т.к. положение
узлов и пучностей не меняется со временем
Отсутствие переноса энергии является следствием того, что прямая и обратная волна переносят энергию
в противоположенных направлениях
Расстояние между соседними узлами или пучностями –
длина волны для стоячей волны:

Образовавшаяся в результате интерференции волна является стоячей – через узлы энергия не переносится.
Происходит превращение энергии то полностью в потенциальную, то в кинетическую, как при колебаниях маятника.
Энергия стоячей волны периодически (с частотой 2ω) перекачивается от узлов смещения, где сосредоточена потенциальная энергия (максимум пучности деформации) к пучностям смещения, где сосредоточена кинетическая (пучности скорости).
Дважды за период происходит переход потенциальной энергии в кинетическую.

Координаты узлов и пучностей
Найдем координаты узлов и пучностей
Узлы:
Пучности:

Стоячие волны в ограниченных средах
Краевые условия:
в точках закрепления струны или стержня, а также на заглушках труб, всегда возникают узлы смещения стоячей волны (в этих местах волна отражается от более плотной среды);
на свободных концах стержня и на открытых концах труб всегда возникают пучности смещениястоячей волны (в этих местах волна отражается от менее плотной среды).

Типы колебаний (моды) струны
Первые четыре моды колебаний идеальной закрепленной струны

Роль граничных условий
при отражении
от более плотной среды
на границе возникает узел
При отражении от границы раздела сред возникает разность фаз, которая зависит от условий отражения:
при отражении
от менее плотной среды образуется пучность
Примеры:
струна, закрепленная с одной стороны
звук в трубе, закрытой с одной стороны
Примеры:
струна, закрепленная с двух сторон
звук в трубе, закрытой с двух сторон

Труба закрыта с обоих концов (струна или стержень закреплены на обоих концах)

Труба открыта с обоих концов

Стержень закреплен в средней точке

Стержень закреплен консольно (труба открыта с одного конца)
Наименьшие возможные частоты стоячих волн (при m = 1) называются основными, более высокие частоты называются обертонами.

Электромагнитные
волны

Электромагнитные волны
Возможность существования ЭМ волн
предсказывал еще Майкл Фарадей в 1832 г., обобщая известные к тому времени данные
по изучению электричества и магнетизма
Теоретически обосновал это предположение
Джеймс Клерк Максвелл

Джеймс Клерк Максвелл
(13 июня 1831 –
5 ноября 1879)
Шотландия, Англия
James Clerk Maxwell
Кроме того:
автор принципа цветной фотографии
подготовил к публикации рукописи работ Генри Кавендиша
вопросы популяризации науки
сконструировал ряд научных приборов
Основное научное достижение – создание в 1860–1865
теории электромагнитного поля
Уравнения Максвелла описывают
все основные закономерности электромагнитных явлений
Британский физик и математик
Член Лондонского королевского
общества (1861)
Сферы научных интересов:
Молекулярная физика и термодинамика
Механика (теория упругости и др.)
Оптика
Математика

Система уравнений Максвелла
Теорема Гаусса для МП
Закон Фарадея
ρ – плотность заряда
Теорема Гаусса для ЭП
Источником ЭП являются заряды
Источников МП НЕ существует
Изменение магнитной индукции порождает вихревое ЭП
Обобщенный закон Био-Савара-Лапласа
Электрический ток
и изменение эл.индукции порождают вихревое МП
j – плотность тока
Закон Ома
в диф.форме
B – магнитная индукция
H – напряженность МП
D – элект. смещение
E – напряженность ЭП
ε – диэлектрическая проницаемость среды
μ – магнитная проницаемость среды
σ – уд.проводимость

ЭМ волна и ее свойства
3. ЭМ волны – ПОПЕРЕЧНЫЕ волны
1. ЭМ волны излучаются движущимся электрическим зарядом
2. в ЭМ волнах происходят колебания полей,
а не вещества, как в случае упругих волн
6. В любой точке пространства
векторы напряженности ЭП и МП
взаимно перпендикулярны (⊥)
и ⊥ направлению распространения
и образуют правовинтовую ( ) систему

Дифференциальное уравнение ЭМВ
Векторы напряженности и ЭМ поля удовлетворяют волновым уравнениям:
Решения уравнений:
– круговая частота
– волновое число
– начальная фаза колебаний
скорость распространения фазы
скорость распространения волны (фазового фронта)
при фазовая скорость
равна скорости переноса энергии

Скорость распространения ЭМ волн
Скорость распространения ЭМ волн в среде
зависит от электрических и магнитных свойств среды
вакуум:
другие среды:
показатель преломления среды n
Скорость ЭМ
волн в вакууме
ε0 = 8,85419·10–12 Ф/м
μ0 = 1,25664·10–6 Гн/м
во сколько раз скорость света в среде МЕНЬШЕ,
чем в вакууме
Скорость ЭМ волн в среде
С =299 792 456,2 ± 1,1 м/с
Ивенсон, США (1972)
Из теории Максвелла:
показывает,

Экспериментальное исследование ЭМВ
С помощью излучающей антенны, помещенной в фокусе вогнутого зеркала и плоского зеркала Герц получил стоячую ЭМ волну
Суперпозиция падающей и отраженной волн:
Стоячая ЭМ волна
состоит из двух стоячих волн –
электрической и магнитной
Измерив расстояние между узлами и пучностями волны,
Герц нашел длину волны λ
Зная λ и частоту колебаний вибратора,
Герц определил скорость ЭМ волн,
которая оказалась близкой к скорости света
Сделал вывод, что свет – ЭМ волна

Экспериментальное исследование ЭМВ
Опыты Герца подтвердили соотношение, следующее из теории Максвелла
Подтвердил поперечность ЭМ волн
Герц расположил на пути волн решетку
из параллельных друг другу медных проволок,
обнаружил, что
при вращении решетки вокруг луча
интенсивность волн, прошедших сквозь решетку, сильно изменяется

Шкала электромагнитных волн
Границы между различными диапазонами условны
!

Шкала электромагнитных волн
Границы между различными диапазонами условны
!

Шкала электромагнитных волн
Границы между различными диапазонами условны
!
λф ≈ 380 нм
λк ≈ 760 нм
Видимый диапазон

Диапазоны ЭМ излучения

Диапазоны
электромагнитных волн
Все виды излучений имеют, по существу, одну и ту же физическую природу
Луи де Бройль

Спектр видимого излучения
Каждый
Охотник
Желает
Знать
Где
Сидит
Фазан
Спектр
распределение интенсивности ЭМ волн
по длинам или частотам
Монохроматическая волна
волна, имеющая постоянную амплитуду и постоянную частоту

Кривая видности
Спектральная зависимость относительной чувствительности среднего человеческого глаза
дневной свет
сумерки
С.И. Вавилов:
в области наибольшей чувствительности (λ=555 нм)
глаз начинает реагировать на свет при попадании
на зрачок примерно 100 фотонов в секунду

Энергия и импульс ЭМ волны
Распространение ЭМ волн связано с переносом энергии (подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии)
Сама возможность обнаружения ЭМ волн указывает на то, что они переносят энергию
В 1874 г. для характеристики переносимой волной энергии русский ученый Н.А. Умов
ввел понятия
скорость и направление движения энергии,
поток энергии
В 1884 г. английский ученый Джон Пойнтинг описал процесс переноса энергии с помощью вектора плотности потока энергии
Николай Алексеевич Умов
Джон
Генри Пойнтинг

Джон Генри Пойнтинг
9 сентября 1852 –
30 марта 1914
Англия
John Henry Poynting
1883 – выполнил точные измерения гравитационной постоянной из закона всемирного тяготения Ньютона
1884 – разработал теорию вектора, описывающую направление и величину потока энергии ЭМ поля (Теорема Пойнтинга о сохранении энергии электрического и магнитного полей)
1903 – осознал, что космическая пыль в Солнечной системе падает по спирали на Солнце (позднее этот эффект был назван эффектом Пойнтинга-Робертсона)
В 1884 – занимался анализом цен на товары на фьючерсной бирже с помощью методов математической статистики
В 1905-1906 являлся президентом Лондонского Общества Физиков
Кратеры на Марсе и Кратер Пойнтинга нa Луне названы в его честь, так же как и главное здание физического факультета Бирмингемском университете
Английский физик

Вектор Умова-Пойнтинга
Поток энергии за 1 с через
единичную площадку (S=1м2),
⊥ направлению распространения волны:
Объемная плотность энергии ЭМ волны:
Вектор плотности потока ЭМ энергии называется вектором Умова-Пойнтинга:

ЭМ масса и импульс
ЭМ полю присущи ЭМ импульс и масса

Эффект Доплера
Соотношение, описывающее
эффект Доплера для ЭМ волн
в вакууме, с учетом преобразований Лоренца, имеет вид:
Если источник движется относительно приемника
вдоль соединяющей их прямой, то наблюдается
продольный эффект Доплера:
Источник и приемник удаляются
Источник и приемник
взаимно сближаются
Акустический эффект Доплера
Оптический эффект:

Поперечный эффект Доплера
Поперечный эффект значительно слабее
Поперечный эффект
Продольный эффект
Впервые экспериментальная проверка существования эффекта Доплера и правильности релятивистской формулы
была осуществлена американскими физиками
Г.Айвсом и Д.Стилуэллом в 30-х гг. XX в.
Наблюдается при

Применение эффекта Доплера
Эффект Доплера нашел широкое применение
в науке и технике, например на нем основаны:
радиолокационные лазерные методы измерения скоростей различных объектов на Земле
(например, автомобиля, самолета и др.)
Особенно большую роль это явление играет в астрофизике:
на основании доплеровского смещения линий поглощения в спектрах звезд и туманностей
можно определять лучевые скорости
этих объектов по отношению к Земле
при

«Красное смещение»
Американский астроном Эдвин Хаббл в 1929 г. обнаружил явление
Космологическое
красное смещение («красное смещение»)
линии в спектрах излучения внегалактических объектов смещены в сторону меньших частот (больших длин волн)
теория расширяющейся Вселенной

Расширяющаяся Вселенная
65 млн. св. лет
325 млн. св. лет
4 млрд. св. лет
Дева
Персей
СL 0939
Красное космологическое смещение
линий спектра водорода

Расширяющаяся Вселенная
«Красное смещение» - проявление эффекта Доплера
В современные телескопы можно наблюдать часть Метагалактики, оптический радиус которой равен
– совокупность всех звездных систем
Метагалактика
говорит о том, что Метагалактика расширяется,
и объекты удаляются от нашей Галактики
Хаббл установил закон, согласно которому, относительное красное смещение галактик растет пропорционально расстоянию r до них
Закон Хаббла:
– постоянная Хаббла
1 пк (парсек) – расстояние, которое свет проходит в вакууме за 3,26 лет