Метод пространства состояний. Марковские процессы

Для расчёта надёжности установок с восстановлением пригоден аппарат марковских (случайных) процессов.
В моделях надёжности различных подсистем СЭС (парк трансформаторов; распределительные устройства с коммутационной аппаратурой, системами шин и ошиновкой; ЛЭП; устройствf РЗиА), которые тоже в свою очередь состоят из отдельных элементов, учитываются:
полные и частичные отказы;
резервное электрооборудование;
профилактические и аварийные ремонты.

Если между многочисленными видами отказов, восстановления, ремонтов и технического обслуживания существует значительная статистическая зависимость, то для построения моделей используется метод пространства состояний (марковские процессы).
Этот метод предусматривает определение возможных состояний системы (пространство состояний) и возможных способов перехода из одного состояния в другое.

Метод может использоваться:
в случае независимых и зависимых отказов элементов;
для анализа нескольких состояний элементов;
при анализе отказов с общей причиной.
Случайный процесс называется марковским, если все вероятностные характеристики его в будущем зависят от того, в каком состоянии элемент находился в начальный момент времени и не зависят от того, как этот процесс протекал в прошлом.

Основными показателями, используемыми при моделировании и вычислении показателей надежности СЭС, являются интенсивности отказов и среднее время восстановления отдельных элементов подсистем, приводимые в справочной литературе или получаемые на основе обработки статистического материала по данным эксплуатации таких систем.
Показатели надёжности, используемые в марковских процессах:
λ – интенсивность отказа; λ= 1/ Т0
μ – интенсивность восстановления; μ =1/ ТВ
ТВ – время восстановления;
Т0 – наработка на отказ.
*Наработка на отказ – среднее время работы элемента, определённое для всей совокупности невосстанавливаемых элементов данного типа (наработка до первого и единственно возможного отказа каждого элемента данного типа).

Восстанавливаемое электрооборудование ранее рассматривалось как системы, которые могли находиться всего в двух состояниях – в работоспособном состоянии либо в состоянии отказа (восстановления). Однако, само состояние восстановления следует дифференцировать: нахождение в текущих и капитальных ремонтах, а также восстановление работоспособного состояния электрооборудования после его отказа.
Для решения задач надежности систем с числом возможных состояний больше двух составляют матрицу состояний, раскрывая которую получают систему дифференциальных уравнений, описывающих связь между вероятностями пребывания системы в каждом из возможных состояний. Решением этой системы определяют показатели надежности.

Граф состояний системы:
За время Δt вероятность отказа (т. е. вероятность перехода из состояния 1 в состояние 2) составит:
ΔQ(t)=λΔt ;
Вероятность же того, что элемент останется в работоспособном состоянии 1 составит:
ΔP(t)=1-ΔQt=1-λΔt
1-λΔt
1
1-μΔt
2
μΔt
λΔt
1 − работоспособное состояние; 2 − состояние отказа

Вероятность восстановления за время Δt (вероятность перехода из состояния 2 в состояние 1):μΔt;
Вероятность невосстановления, т.е. вероятность того, что электрооборудование останется в неисправном состоянии:1-μΔt.