Моделирование. Виды подобия

Закон гравитационного подобия
Полученные формулы позволяют находить характерные величины для натуры, если известны таковые на модели. Аналогично решаются и обратные задачи, т.е. нахождение отдельных величин на модели по данным натуры, а также определяются возможные масштабы модели в зависимости от имеющихся размеров.
Заметим, что большие значения масштабных коэффициентов для таких величин,, как расход и силы, являются благоприятным для лабораторий фактором при моделировании по закону гравитационного подобия.
Закон подобия для сил вязкости
В некоторых явлениях, рассматриваемых в гидроаэродинамике, силы тяжести не оказывают существенного влияния и главными являются си­лы вязкости (силы внутреннего трения). Таково, например, движение горючих газов в печах раз­личного рода, движение подводной лодки в по­груженном состоянии или дирижабля, плывущего в воздухе и т.д.
По Ньютону закон внутреннего трения
(4-1)
где μ – динамический коэффициент вязкости
ω – площадь соприкасающихся слоев жидкости
- градиент скорости υ по нормали n

Закон подобия для сил вязкости
Для одной и той же жидкости в натуре и на модели и тогда или (4-7)
т.е. время на модели больше, чем время в натуре.
Масштаб скорости. Из критерия Рейнольдса (уравнение 4-5) имеем:
В частном случае и , и так как обычно , то скорость на модели получается больше, чем скорость в натуре.
Масштаб расходов. Получим так:
При имеем т.е. масштабный коэффициент неблагоприятный для моделирования.
Масштаб сил мы получили уже раньше в виде уравнения (4-2)
Полагая теперь и учитывая, что (4-7) , получим

Закон подобия для сил вязкости
Как известно, для воздуха динамический коэффициент вязкости μ практически не зависит от давления, а плотность ρ по закону Бойля-Мариотта увеличивается прямо пропорционально давлению. В результате кинематический коэффициент вязкости воздуха ν с увеличением давления уменьшается.
Таким образом, если в натуре мы имеем воздуха при атмосферном давлении, то при давлении, например, в 25 атмосфер (такие аэродинамические трубы построены) и возможный масштаб модели λ=25, если принять, что
Случай совместного действия сил
Рассмотрим вопрос о законе подобия и масштабах величин в случае совместного действия силы тяжести и силы вязкости. В этом случае мы, очевидно, должны использовать как критерий Фруда – уравнение (3-3), так и критерий Рейнольдса – уравнение (4-5).
Поскольку время не зависит от рода действующих сил, то масштаб времени должен быть одинаков по обоим критериям, т.е. или , отсюда
и (5-1)
Если , то т.е. моделирование в одной и той же жидкости не возможно.

Случай совместного действия сил
Из формулы (5-1) видно, что для получения нужно , чтобы
Если в натуре мы имеем воду, то других жидкостей с меньшим коэффициентом кинематической вязкости и практически применимых не существует.
Если предложения использовать на модели ртуть, которая благодаря своему большому удельному весу имеет малый коэффициент кинематической вязкости, а именно:
Таким образом, можем получить:
т.е. масштаб в ряде случаев приемлемый.

Специальный критерий подобия для нестационарных потоков
Определяющим рядом сил, действующих в нестационарных потоках, следует считать силы инерции. Отношение этих сил для двух подобных потоков:
(7-1)
где - ускорения в первом и втором потоках.
Подобие в действии сил инерции представляет собой частный случай общего закона динамического подобия Ньютона, поэтому уравнение (7-1) должно удовлетворять уравнению (2-3). Приравнивая их, получим
(7-2)
Ограничиваясь случаем одной и той же жидкости и сокращая , получим
(7-3)
где средние скорости потоков
Полученный критерий аналогичен критерию Фруда, но включает в себя ускорение усредненного течения
вместо ускорения силы тяжести

Подобие при учете турбулентного трения
Закон Фруда чаще всего применяется при гидравлическом моделировании (важную роль играет сила тяжести). Но зачастую здесь же участвуют силы турбулентного трения. Предположим, что смоделировали гидравлическое явление, обеспечив гравитационное подобие с учетом турбулентного трения.
Запишем средние скорости для натуры и модели по формуле Шези, возьмем их соотношение и приравняем масштабу скорости по Фруду.
Учитывая, что уклон – величина безразмерная, а гидравлический радиус имеет линейную размерность, получим после сокращения
(8-1)
К данному результату можно прийти, записав уклоны для натуры и модели
отсюда , но так как и , получим

Подобие при учете турбулентного трения
Поскольку коэффициент С связан с шероховатостью, определяющий трение, то равенство (8-1) и будет являться условием, отражающим подобие при учете турбулентного трения. Если выразить коэффициент С для натуры и для модели, например, по формуле Маннинга, то получим:
(8-2)
т.е. для соблюдения равенства (8-1) коэффициенты шероховатости в натуре и на модели должны относиться как
Моделирование шероховатости по изложенному выше можно выполнить при моделировании в очень малом масштабе или в том случае, когда шероховатость очень мала в натуре.
При моделировании бетонного канала мы можем взять масштаб , при этом
, что осуществимо.
Если же взять линейный масштаб , то , что уже практически неосуществимо, так как материала такой гладкости не существует.

Подобие при учете турбулентного трения
Рассмотрим другой подход. Запишем выражение гидравлического уклона по формуле Дарси для натуры и для модели.
Возьмем отношение уклонов
(9-1)
Учитывая, что должно быть получим (считая )
(9-2)
Полученное выражение показывает, что критерий гравитационного подобия (3-3) будет выполнен, если
т.е. коэффициенты трения и в натуре и на модели равны.

Подобие при учете турбулентного трения
Иначе равенство можно получить из следующего:
Потери напора пропорциональны квадрату скорости, но если скорость моделируется по Фруду как , то потери напора изменяются, как высоты ( в линейном масштабе) т.е. то же по закону гравитационного моделирования
Равенство возможно только ,
Как известно, коэффициент трения связан с коэффициентом С по формуле:
(9-3)
Откуда следует, что условие , равносильно условию
Исследования показали, что сила трения в формуле типа Дарси в общем случае является функцией числа Рейнольдса и так называемой относительной шероховатости для открытых русел или для труб, где средняя высота выступов (абсолютная шероховатость) на стенке русла или трубы, а - радиус трубы.

Подобие при учете турбулентного трения
Исследования показали, что коэффициент зависит от только до известных значений последнего, определяемых относительной шероховатостью данного русла.
При гравитационном моделировании отношение чисел Рейнольдса в натуре и на модели будет
(9-4)
Для одной и той же жидкости
(9-5)
Отсюда следует, что для определения масштаба модели необходимо задаться значением
Тогда
Определение для скрытых потоков, и в особенности речных русел по данным Зегжды является весьма приближенным. Данные получены для равномерного потока в прямоугольных лотках, что конечно, отличается от естественных условий
(9-6)