Основные понятия теории погрешностей

Основные понятия
Истинное значение физической величины ― идеальным образом характеризующее рассматриваемое свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении.
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Погрешность результата измерений ― отклонение результата измерения
X от истинного (или действительного) значения Q измеряемой величины:
Результат измерения ― значение величины, полученное путем измерения.
Действительное значение физической величины ― значение физической величины, найденное экспериментально и настолько близкое к истинному,
что в поставленной измерительной задаче оно может быть использовано вместо него.

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Погрешность средства измерений ― разность между показанием средства измерения и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины.
Точность результата измерений ― степень близости к нулю значения погрешности результата измерения.
Точность средства измерений ― степень близости к нулю значения погрешности средства измерения.
Зависимость сопротивления проводника от температуры
Основные понятия

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Погрешности измерений
По способу
выражения
По характеру
проявления
По влиянию
характера
изменения
измеряемой
величины
По влиянию внешних условий
По зависимости
абсолютной
погрешности от
значений
измеряемой
величины

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По способу выражения
Абсолютная
погрешность
Приведенная погрешность средства измерений
Относительная погрешность

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Абсолютная погрешность ― разница между результатом измерения X и
истинным (или действительным) значением Q:
Относительная погрешность ― отношение абсолютной погрешности
измерения к результату измерения величины:
или
По способу выражения

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Приведенная погрешность средства измерений ― относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерений отнесена к условно принятому значению XN , постоянному во всем диапазоне измерений или его части:
или
XN ― нормирующее значение. Чаще всего за него принимают верхний предел измерений данного средства измерения. Приведенную погрешность обычно выражают в процентах.
По способу выражения

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По характеру проявления
Случайные
Систематические
Прогрессирующие
Промахи

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По характеру проявления
Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера физической величины, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях.
Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По характеру проявления
Проявление случайной погрешности
Проявление систематической погрешности
(постоянной и переменной)

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По характеру проявления
Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Изменение во времени прогрессирующих погрешностей собой представляет нестационарный случайный процесс. Прогрессирующие погрешности могут быть скорректированы поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются.
Грубая погрешность (промах) – это случайная погрешность результата
отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений; для данных условий
она резко отличается от остальных результатов этого ряда.
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По характеру проявления
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html
Наличие промаха в результатах наблюдений
Расчет сопротивления элемента электрической цепи:

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По зависимости абсолютной погрешности
от значений измеряемой величины
Аддитивные
Мультипликативные
Нелинейные

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html
Аддитивные погрешности
(не зависят от измеряемой
величины)
Мультипликативные
погрешности
(прямо пропорциональны
измеряемой величины)
Нелинейные погрешности
(зависят от измеряемой
величины нелинейно)

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html

Обозначение классов точности
Лицевая панель амперметра
класса точности 1,5 с равномерной шкалой
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Классификация погрешностей

Обозначение классов точности
Лицевая панель ампервольтметра
класса точности 0,02/0,01 с равномерной шкалой
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Классификация погрешностей

Обозначение классов точности
Лицевая панель мегаомметра класса точности 2,5
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Классификация погрешностей

Обозначение классов точности
Лицевая панель фазометра класса точности 1,0
с существенно неравномерной шкалой
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Классификация погрешностей

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По влиянию внешних условий
Основные
погрешности
Дополнительные
погрешности

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По влиянию внешних условий
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html
Основная погрешность средства измерений – погрешность средства измерения, применяемого в нормальных условиях. Для каждого средства оговариваются условия эксплуатации, при которых нормируется его погрешность.
Дополнительная погрешность средства измерений – составляющая погрешности средства измерения, возникающая дополнительно к основной погрешности, вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин от нормального ее значения или вследствие ее выхода за пределы нормальной области значений.

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По влиянию внешних условий
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html
Нормальные условия, как правило, подразумевают выполнение в ходе измерений следующих условий:
температура окружающей среды (20±5) °С;
относительная влажность (60±15) %;
напряжение питания сети (220,0±4,4) В;
частота питания сети (50±1) Гц;
отсутствие внешних электрических и магнитных полей;
положение прибора горизонтальное, в пределах ±2°.
– значение измеренного напряжения
при нормальной температуре

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
По влиянию внешних условий
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html
– дополнительная погрешность, возникающая при отклонении нормального значения температуры более чем на 10 °С
– значение измеренного напряжения
при температуре, выходящей за пределы нормальной

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин
Статистические
погрешности
Динамические
погрешности

Классификация погрешностей
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
В зависимости от влияния характера изменения измеряемых величин
http://www.ngpedia.ru/id271377p2.html
Статическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную.
Динамическая погрешность средства измерений – погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины.

Правила представления результатов измерений
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Значащие цифры данного числа – все цифры, кроме нуля слева. При этом нули, следующие из множителя 10n (n – целое число), не учитываются.
Пример:
0,2396 – 4 значащие цифры, первая цифра – 2;
0,00173 – 3 значащие цифры, первая цифра – 1;
30170 – 5 значащих цифр, первая цифра – 3, последний нуль – также значащая цифра;
301,7·102 – 4 значащие –цифры, первая цифра – 3, последняя – 7;
20000 – 5 значащих цифр, первая цифра – 2, все последующие нули – также значащие цифры;
20·103 – 2 значащие цифры, первая цифра – 2, вторая цифра – 0, нули, следующие
из множителя 103 , не учитывают;
0,02·106 – одна и единственная значащая цифра – 2

Правила представления результатов измерений
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Значащие цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает единицы последнего разряда.
Примеры:
1. Плотность ртути 13,5975 г/см3. Округлим это значение до сотых: 13,60 г/см3.
Абсолютная погрешность округления ΔХ = 0,0045 ≤ 0,01.
2. Получен результат измерения (140±5). Цифра «0» не будет верной, так как абсолютная погрешность больше единицы последнего разряда.

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
1. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543-77
Правила представления результатов измерений

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
2. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, либо 5, и после нее идут другие цифры, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Правила представления результатов измерений
Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543-77

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
3. В случае, если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и она является крайней справа либо за ней идут нули, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра сохраняется. Если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Правила представления результатов измерений
Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543-77

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
4. При записи результата измерения на первом этапе округляются погрешности измерений. Округление выполняется по следующему правилу: если первая значащая цифра — единица или двойка, то после округления оставляют две значащие цифры. Если же первая значащая цифра — тройка и более, то оставляют одну значащую цифру.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Правила представления результатов измерений
Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543-77

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
5. Далее округляется само числовое значение ФВ, причем ее количество знаков после запятой должно совпадать с количеством знаков после запятой для погрешности.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Правила представления результатов измерений
Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543-77

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
6. Если при округлении погрешности указан порядок, т.е. 10n, то такой же порядок должен быть и у самой величины, при этом оба числа заключаются в скобки, и множитель 10n указывается один раз.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Правила представления результатов измерений
Стандарт СЭВ СТ СЭВ 543-77

Правила представления результатов измерений
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
Возведение в степень и извлечение корня
При возведении в степень приближенного числа следует сохранить в результате столько десятичных знаков, сколько их у исходного числа.
Пример: (3,4·102)3=39304000≈3,9·107
Сложение и вычитание
При сложении и вычитании приближенных чисел сохраняется столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с минимальным количеством.
Пример: 5,14+12,1+6,353=23,593≈26,6
Умножение и деление
При умножении и делении приближенных чисел сохраняется столько десятичных знаков, сколько имеет приближенное число с минимальным количеством.
Пример: 1,5·35=52,5≈52
Арифметические операции с приближенными числами

Примеры заданий
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
1. Число 83,26 найдено с относительной погрешностью 0,3%. Найти абсолютную погрешность округления.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf

Примеры заданий
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
1. Число 83,26 найдено с относительной погрешностью 0,3%. Найти абсолютную погрешность округления.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Относительная погрешность
В нашем случае δ = 0,3%, Х = 83,26, отсюда
Получаем

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
2. Найти абсолютные и относительные погрешности числа е = 2,71828182…, заданного двумя и трёмя цифрами после запятой.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Примеры заданий

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
2. Найти абсолютные и относительные погрешности числа е = 2,71828182…, заданного двумя и трёмя цифрами после запятой.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Две цифры после запятой
Три цифры после запятой
Х = 2,72
ΔХ = 0,0017118..≈ 0,0017
Х = 2,718
ΔХ = 0,0002818..≈ 0,00028
Примеры заданий

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
3. Округлить число x = 4,45575250 до шести, пяти и т.д. десятичных знаков и до целого числа.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Примеры заданий

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
3. Округлить число x = 4,45575250 до шести, пяти и т.д. десятичных знаков и до целого числа.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
x = 4,45575250 – исходное число
x ≈ 4,4557526 – правило 3 округления чисел
x ≈ 4,455753 – правило 2 округления чисел
x ≈ 4,45575 – правило 1 округления чисел
x ≈ 4,4558 – правило 3 округления чисел
x ≈ 4,456 – правило 2 округления чисел
x ≈ 4,46 – правило 2 округления чисел
x ≈ 4,5 – правило 2 округления чисел
x ≈ 4 – правило 3 округления чисел
Примеры заданий

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
4. Вычислить верные значащие цифры чисел.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Примеры заданий
Х = 0,004507 при Δ = 0,00006
Х = 12,396 при Δ = 0,03.
Х = 0,037862 при Δ = 0,007

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
4. Вычислить верные значащие цифры чисел.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Х = 0,004507 при Δ = 0,00006. 0,00006 < 0,0001, следовательно, значащими цифрами будут Х = 0,004507
Х = 12,396 при Δ = 0,03. 0,03 < 0,1, следовательно, значащими цифрами будут Х = 12,396
Х = 0,037862 при Δ = 0,007. 0,007 < 0,01, следовательно, значащими цифрами будут Х = 0,037862
Примеры заданий

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
5. Получено значение физической величины 2,32540874 с погрешностью 0,162875. Записать результат согласно правилам представления погрешностей.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Примеры заданий

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
5. Получено значение физической величины 2,32540874 с погрешностью 0,162875. Записать результат согласно правилам представления погрешностей.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Округляем погрешность до двух значащих цифр: 0,16;
Округляем результат так, чтобы последняя значащая находилась на той же позиции, что и последняя значащая цифра погрешности: 2,33;
Результат: 2,33±0,16
Примеры заданий

Оценка погрешностей при косвенных измерениях
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Пусть представляющая интерес величина ξ является функцией ряда непосредственно измеримых величин x, y, z, ...
Для абсолютных погрешностей справедливы соотношения:
Примем погрешность за малое приращение измеряемой величины:

Оценка погрешностей при косвенных измерениях
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Рассмотрим частные производные функции ξ:
Слагаемое
соответствует погрешности, которую вносит
в погрешность Δξ неточность измерения величины Х.

Оценка погрешностей при косвенных измерениях
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Формулы расчета погрешностей для ряда наиболее часто встречающихся функций (1)

Оценка погрешностей при косвенных измерениях
Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Формулы расчета погрешностей для ряда наиболее часто встречающихся функций

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
1. Размеры прямоугольника составляют а=3,3±0,1 см и b=5,2±0,1 см. Найти площадь и периметр прямоугольника
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Периметр прямоугольника:
Абсолютная погрешность:
Примеры заданий
Относительная погрешность:
Ответ: периметр прямоугольника составляет 17,0±0,4 см, δ=2,4%.

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
1. Размеры прямоугольника составляют а=3,3±0,1 см и b=5,2±0,1 см. Найти площадь и периметр прямоугольника
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Примеры заданий
Площадь прямоугольника:
Относительная погрешность:
Абсолютная погрешность:
Ответ: площадь прямоугольника составляет 17,2±0,9 см2, δ=5%.

Лекция 2. Основные понятия теории погрешностей
2. Дан цилиндр массой m=60,01±0,01 г, диаметром d=25,010±0,005 мм и высотой h=30,000±0,005 мм. Найти плотность цилиндра.
http://genphys.phys.msu.ru/rus/ofp/CanYouRound.pdf
Примеры заданий
Плотность цилиндра:
Найдем логарифм от выражения плотности цилиндра:
Возьмем дифференциал: