Слайд 2
1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из
![1) Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-1.jpg)
определения КРИ-1 следует, что он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
Слайд 3 2) Масса кривой.
Если подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность в
![2) Масса кривой. Если подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-2.jpg)
каждой точке кривой, то массу кривой можно найти по формуле
Слайд 43) Моменты кривой l:
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох
![3) Моменты кривой l: статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-3.jpg)
и Оу:
Слайд 5 момент инерции пространственной кривой относительно начала координат:
моменты инерции кривой относительно координатных осей:
![момент инерции пространственной кривой относительно начала координат: моменты инерции кривой относительно координатных осей:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-4.jpg)
Слайд 6 4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
![4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-5.jpg)
Слайд 75) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):
![5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-6.jpg)
Слайд 8 Пример. Найти массу кривой с линейной плотностью
заданной в полярных координатах уравнением
![Пример. Найти массу кривой с линейной плотностью заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-7.jpg)
ρ = 4φ, где
Слайд 10Пример. Вычислить работу векторного поля
вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до
![Пример. Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-9.jpg)
точки В(1;4;2).
Слайд 11Решение. Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:
![Решение. Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-10.jpg)
Слайд 13 Пример. Вычислить длину астроиды
![Пример. Вычислить длину астроиды](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-12.jpg)
Слайд 14Решение. В силу симметрии, достаточно вычислить длину кривой, лежащей в первом квадранте,
![Решение. В силу симметрии, достаточно вычислить длину кривой, лежащей в первом квадранте,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-13.jpg)
и затем умножить результат на 4. Уравнение астроиды в первом квадранте имеет вид
Слайд 16Пример. Найти длину астроиды
x = a cos3t, y = a sin3t
![Пример. Найти длину астроиды x = a cos3t, y = a sin3t](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-15.jpg)
Слайд 17Решение. Воспользуемся формулой
В нашем случае
![Решение. Воспользуемся формулой В нашем случае](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-16.jpg)
Слайд 19 Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то
![Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-18.jpg)
Слайд 20Пример. Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором
в интервале
![Пример. Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором в интервале](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-19.jpg)
Слайд 22 Решение. Воспользуемся формулой
![Решение. Воспользуемся формулой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-21.jpg)
Слайд 25Пример. Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением
![Пример. Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-24.jpg)
Слайд 27Решение. Используем соотношение
В силу симметрии кардиоиды достаточно найти половину ее длины,
![Решение. Используем соотношение В силу симметрии кардиоиды достаточно найти половину ее длины,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-26.jpg)
а затем удвоить полученный результат.
Слайд 28
Длина кардиоиды выражается в виде
![Длина кардиоиды выражается в виде](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-27.jpg)
Слайд 30
Так как при , то
Окончательно находим длину:
![Так как при , то Окончательно находим длину:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-29.jpg)
Слайд 33Пример. Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми
![Пример. Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-32.jpg)
x = 1, x = 2.
Слайд 35Решение. Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
Найдем отдельно каждый из интегралов.
![Решение. Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла. Найдем отдельно каждый из интегралов.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-34.jpg)
Слайд 37Следовательно, площадь заданной области равна
![Следовательно, площадь заданной области равна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-36.jpg)
Слайд 38Пример. Найти статические моменты дуги однородной астроиды
относительно осей координат.
![Пример. Найти статические моменты дуги однородной астроиды относительно осей координат.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-37.jpg)
Слайд 39Решение. Дуга астроиды однородна, следовательно, плотность в каждой точке постоянна. Пусть .
![Решение. Дуга астроиды однородна, следовательно, плотность в каждой точке постоянна. Пусть .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-38.jpg)
Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде
где
Слайд 41По условию
следовательно,
dl = 3a sin t cos t dt
![По условию следовательно, dl = 3a sin t cos t dt](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-40.jpg)
Слайд 47Построим кривую
r(θ) = 3 – 2 cos θ
![Построим кривую r(θ) = 3 – 2 cos θ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-46.jpg)
Слайд 50Построим кривую
r(θ) = 1+ 2 cos θ
![Построим кривую r(θ) = 1+ 2 cos θ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-49.jpg)
Слайд 53Построим кривую
r(θ) = 3 – sin θ
![Построим кривую r(θ) = 3 – sin θ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-52.jpg)
Слайд 56Построим кривую
r(θ) = 3 cos (3θ)
![Построим кривую r(θ) = 3 cos (3θ)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-55.jpg)
Слайд 59Построим кривую
r(θ) = 5 sin (2θ)
![Построим кривую r(θ) = 5 sin (2θ)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/994274/slide-58.jpg)