Приложения криволинейных интегралов в геометрии и механике

1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения КРИ-1 следует, что он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

2) Масса кривой.
Если подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность в каждой точке кривой, то массу кривой можно найти по формуле

3) Моменты кривой l:
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу:

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат:
моменты инерции кривой относительно координатных осей:

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

Пример. Найти массу кривой с линейной плотностью
заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Пример. Вычислить работу векторного поля
вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Решение. Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

Пример. Вычислить длину астроиды

Решение. В силу симметрии, достаточно вычислить длину кривой, лежащей в первом квадранте, и затем умножить результат на 4. Уравнение астроиды в первом квадранте имеет вид

Пример. Найти длину астроиды
x = a cos3t, y = a sin3t

Решение. Воспользуемся формулой
В нашем случае

Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то

Пример. Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором
в интервале

Решение. Воспользуемся формулой

Производные:

Пример. Найти длину кардиоиды, заданной в полярных координатах уравнением

Решение. Используем соотношение
В силу симметрии кардиоиды достаточно найти половину ее длины, а затем удвоить полученный результат.

Длина кардиоиды выражается в виде

Так как при , то
Окончательно находим длину:

Длина всей кардиоиды равна

Пример. Найти площадь области, ограниченной гиперболой , осью Ox и вертикальными прямыми x = 1, x = 2.

Решение. Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.
Найдем отдельно каждый из интегралов.

Следовательно, площадь заданной области равна

Пример. Найти статические моменты дуги однородной астроиды
относительно осей координат.

Решение. Дуга астроиды однородна, следовательно, плотность в каждой точке постоянна. Пусть . Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде
где

По условию
следовательно,
dl = 3a sin t cos t dt

Построим кривую
r(θ) = 3 – 2 cos θ

Построим кривую
r(θ) = 1+ 2 cos θ

Построим кривую
r(θ) = 3 – sin θ

Построим кривую
r(θ) = 3 cos (3θ)

Построим кривую
r(θ) = 5 sin (2θ)

Построим кривую
r(θ) = θ

Построим кривую
r(θ) = cos θ