Задача о скатывании симметричного тела с наклонной плоскости без проскальзывания. 3 подхода

Задача о скатывании симметричного тела с наклонной плоскости без проскальзывания
3 подхода
1)Уравнение моментов относительно центра масс + закон Ньютона для центра масс + уравнение связи
2)Уравнение моментов относительно точки касания тела и наклонной плоскости +уравнения связи.
3) Закон сохранения энергии + уравнение связи.

Задача*
Рулон ковра свободно разматывается. Длина ковра - L и толщина - d, угол наклона - α.
Найти оценку времени полного разматывания ковра. Принимая, что ковер плотно намотан (на рисунке не так).
Считать, что выполняется ЗСЭ и принимать L>> d.

Расчет момента инерции палочки относительно оси перпендикулярной центру
Линейная плотность [кг/м]
Момент инерции кусочка
Масса кусочка
Момент инерции кусочка
- интеграл

Расчет момента инерции диска относительно оси перпендикулярной центру симметрии
поверхностная плотность [кг/м2]
Момент инерции кольца
Масса кольца
Момент инерции кольца
интеграл

Расчет момента инерции шара относительно оси, проходящей через его центр
-плотность [кг/м2]
Момент инерции диска:
Масса диска:
Момент инерции диска:
Интеграл

Расчет момента инерции сферы относительно оси, проходящей через центр симметрии
Момент инерции шара :
Дифференциал момента инерции или момент инерции
сферического слоя:
Масса этого сферического слоя:

Уравновешенный гироскоп – быстро вращающееся тело, имеющее три степени свободы

Прецессия гироскопа*
L -момент импульса гороскопа, M - момент внешней силы
L -момент импульса гороскопа велик и относительно мало меняется,
то можно записать:
Ω – Угловая скорость прецессии

Куда катится катушка, которую тянут за нить (проскальзывания нет)?
Проекция скорости
катушки на нить
Уравнение связи

Диссипативные силы
Диссипативные силы – силы, зависящие от скорости, работа которых
может приводить к уменьшению общей энергии системы.

Сухое трение: закон Кулона –Амонтона
Сила трения скольжения одного тела по поверхности другого тела (опоры) равна
Предельный угол наклон, при котором тело начинает соскальзывать с поверхности
Сила трения направлена против скорости

Сухое трение – закон Кулона –Амонтона
Теория
Эксперимент
Таблица: Коэффициенты трения

Трение качения

Ньютоновская жидкость
Две пластинки в жидкости
S – площадь пластинок,
h – расстояние между пластинками
η – динамическая вязкость, [кг/м/c]
Закон вязкости Ньютона

Вязкость кинематическая и динамическая
η – динамическая вязкость, [кг/м/c]
– кинематическая вязкость, [м2/c]
Идеальная жидкость – жидкость с нулевой вязкостью

Число Рейнольдса
l – характерные размеры
u – характерная скорость
К– кинетическая энергия
А– вязкая работа
1>>Re доминирует вязкость
Re>>1 доминирует инерционность

Число Рейнольдса
l – характерные размеры
u – характерная скорость
К– кинетическая энергия
А– вязкая работа
1>>Re доминирует вязкость
Re>>1 доминирует инерционность

Силы сопротивления: низкие скорости
Re<<1 доминирует вязкость
Точная формула сила трения при обтекании шара
Формула Стокса

Силы сопротивления: высокие скорости
Re>>1 доминирует инерционность
(NB) Точных решений нет!

Силы сопротивления - эксперимент

Вязкое трение выводы
При малых скоростях:
При больших скоростях: