Решение задач динамики машин с учетом сил упругости

Для решения задач динамики с учетом упругости звеньев прибегают к приближенному решению, когда машину или исследуемый узел представляют в виде недеформируемых масс, соединенных упругими элементами. Например, если исследуются вибрации двухступенчатого редуктора, в котором есть валы и зубчатые колеса (рис. 3.1), то следует обратить внимание на то, что моменты инерции валов малы по сравнению с большими зубчатыми колесами, но обладают меньшей жесткостью.

Двухступенчатый редуктор и его динамическая модель.

Одномассовая и двухмассовая динамические модели.

При решении задач с учетом сил упругого сопротивления звеньев механизмов следует учесть, что на тело, кроме внешней силы F, действуют в общем случае, следующие силы:
сила инерции
F = − m
сила упругого сопротивления F 1 = c x
сила вязкого сопротивления F 2 = α
- упругое перемещение, скорость (то есть первая производная от перемещения по времени) и ускорение этого перемещения, (то есть вторая производная от перемещения по времени);
- коэффициенты, учитывающие механические свойства материалов конструкций (жесткость и вязкость).
x,
с и α
и

Учитывая изложенные выше зависимости и принятые допущения, получаем уравнение движения масс с учетом сил упругости
или, без учета вязкости
(3.1)

В общем виде кран с грузом представляет собой трехмассовую систему, движение которой, как отмечено ранее, описываются дифференциальными уравнениями второго порядка
Расчетная схема мостового крана с грузом
mK - масса крана; mГ - масса груза; mР - масса вращающихся частей привода;
СК - жесткость конструкции самого крана; СК - жесткость канатов, удерживающих груз.

Динамическая нагрузка при подъеме груза
В процессе подъема возможны два варианта: подъем «с веса» и подъем «с подхватом».
В первом случае – подъем «с веса» предполагается, что динамическая нагрузка возникает в момент отрыва груза от поверхности, на которой он лежит.
Избыточная сила Ризб , действующая со стороны двигателя, зависит от жесткости опорной конструкции СК и от времени действия динамической нагрузки. Рдин = f (t, СК).

В начальный момент подъема нагрузка на грузозахватное устройство РГЗ составит
РГЗ = QГ + Рдин ≥ QГ , (3.2.)
а динамический коэффициент
КД = РГЗ / QГ = 1 + (3.3)

Во втором случае – подъем «с подхватом» груз лежит на каком-либо основании, канаты провисают, и в этот момент нагрузка на ГЗУ равна нулю.
При включении механизма подъема происходит выбор слабины канатов, и динамическая нагрузка возникает в тот момент, когда к канату, движущемуся со скоростью V, мгновенно прикладывается нагрузка от веса груза.

Динамическая нагрузка, также как в первом случае, зависит от жесткости опорной конструкции СК , но при этом уже зависит не от времени, а скорости каната.
Рдин = f (V, СК).
Нагрузка на ГЗУ определяется по тем же формулам (3.2) и (3.3), как и при подъеме «с веса»

В первом случае – подъем «с веса» динамическая деформация самого крана мало отличается от статической. Поэтому трехмассовую систему, изображенную на слайде 7, можно свести к двухмассовой, не учитывая массу крана и заменив жесткость канатов и металлоконструкции крана приведенной жесткостью С
С = (СК ∙ СГ) / СК + СГ

Схема динамического нагружения грузозахватного устройства при подъеме «с веса».
∙(ХР - ХГ = QГ + Ризб
∙ (ХР - ХГ) = - QГ ,
где ХР и ХГ - упругие перемещения ротора и груза, соответственно;
Ризб - избыточная сила, действующая со стороны двигателя;
(ХР - ХГ) – деформация упругой связи
(удлинение канатов).
Уравнения движения имеют вид:

Избыточную силу, действующая со стороны двигателя, определяют зависимостью
Ризб = φ∙QГ (3.4)
где φ = коэффициент пропорциональности; φ ˃ 1.
Коэффициент динамичности вычисляют по формуле
Массу груза определяют с учетом кратности полиспаста
- грузоподъемность крана

При торможении опускающегося груза величину Рдин и коэффициент динамичности определяют по тем же формулам, но под Ризб понимают разность между тормозным усилием, приведенном к грузу, и весом груза.

Во втором случае – подъем «с подхватом» груз лежит на каком-либо основании, канаты провисают, нагрузка на ГЗУ равна нулю.
При включении механизма подъема на первом этапе происходит выбор слабины канатов; на втором этапе – упругая деформация всех элементов конструкции и динамическая нагрузка возникает в тот момент, когда к канату, движущемуся со скоростью V, мгновенно прикладывается нагрузка от веса груза.
Этот этап продолжается до тех пор, пока усилие на грузозахватном устройстве не станет равным QГ = mГ∙g. Лишь после этого начнется третий этап – подъем груза .

Уравнение движения имеет вид:

Решение этого уравнения
где уСТ – прогиб конструкции от статической нагрузки;
V - установившаяся скорость подъема груза;
р - круговая частота свободных колебаний
t – текущее время