Решение задач на расчет статически определимых плоских ферм путем построения диаграммы Масквелла-Кремоны

3. Решение.
3.1. Вычерчиваем геометрическую схему фермы в масштабе, например 1: 100 .
3.2. Обозначим поля:
внешние: a, b, c, d, d′, c ′, b ′, a ′;
внутренние: 1, 2, 3, 4, 5, 5 ′, 4 ′, 3 ′, 2 ′, 1 ′.
2. Условие задания: Определить усилия в стержнях, путем построения диаграммы Максвелла – Кремоны
1. Цель работы: научиться определять усилия в стержнях фермы построением диаграммы Максвелла-Кремоны.

3.3. Определяем опорные реакции фермы:
а) выбираем масштаб сил: в 1 см – 15 кН;
б) строим силовую линию a – b – c – d – d ′ – c ′ – b ′ – a ′ из внешних сил (рис. 23, б);
в) определяем опорные реакции, показав их предварительно на схеме фермы. Разделим силовую линию
пополам. Середина ее находится между точками d – d ′ и совпадает с точкой е, которой обозначено поле,
расположенное между опорными реакциями. Отрезок a ′– е, измеренный в масштабе сил, представляет
собой правую опорную реакцию. На схеме фермы правая опорная реакция лежит между полями a ′ и е и
обозначается a ′– е. Отрезок силовой линии е – а представляет собой левую опорную реакцию. Длины
отрезков a ′– е и е – а равны 3 см, поэтому каждая опорная реакция равна 3 ⋅ 15 = 45 кН.

3. 4. Строим диаграмму усилий:
а) мысленно вырезаем узел А, в котором сходятся два стержня, которые назовем b – 1 и 1 – е.
на силовой линии уже есть точки b и е. Проведем через точку b линию, параллельную стержню b – 1,
а через точку е – линию, параллельную стержню 1 – е. Точку их пересечения обозначим цифрой 1.
Длина линии b – 1 равна 3,8 см. Помня, что в принятом масштабе 1 см = 15 кН, получим усилие в стержне
b – 1, равное 3,8 ⋅ 15 = 57 кН. Длина линии 1 – е также равна 3,8 см, т.е.усилие 1 – е тоже равно 57 кН.
Определим знак усилия b – 1: на схеме фермы (см. рис. 23, а) стержень верхнего пояса читается b – 1;
на диаграмме усилий (см. рис. 23, б) движение от точки b к точке 1 направлено справа налево.
Перенесем это направление движения (справа налево) на стержень b – 1 (см. рис. 23, а) – оно
направлено к узлу, т.е. стержень сжат. Усилие b – 1 обозначено жирной линией. Определим
знак усилия 1 – е: на схеме фермы стержень читается 1 – е; на диаграмме усилий движение от точки 1
к точке е направлено слева направо. Перенесем это направление движения на стержень фермы
оно направлено от узла, т.е. стержень растянут. Усилие 1 – е на диаграмме обозначено тонкой линией;
б) вырезаем узел D. В нем сходятся три стержня: 1 – b, с – 2 и 2 – 1. Усилие в стержне 1 – b найдено из
рассмотрения узла А, а усилия в стержнях с – 2 и 2 – 1 неизвестны. На диаграмме усилий уже есть точки
с и 1. Проведем через точку с линию, параллельную стержню с – 2, а через точку 1 – линию, параллельную
стержню 2 – 1, до взаимного пересечения. Точку пересечения линий обозначим цифрой 2 (номером поля,
которое лежит между стержнями, усилия в которых отыскиваются). Отрезок с – 2 равен 3,65 см, следова-
тельно, усилие в нем равно 3,65 ⋅ 15 = 54,8 кН. Отрезок 2 – 1 равен 0,4 см, усилие в нем равно 0,4 ⋅ 15 = 6 кН.
Определим знак усилия в стержне с – 2: на схеме фермы стержень читается с – 2; на диаграмме усилий
движение от точки с к точке 2 направлено справа на лево; перенесем это направление движения на
стержень с – 2 – оно направлено к узлу D, т.е. стержень сжат (на диаграмме усилие показано жирной
линией).
Определим знак усилия 2—1: на схеме фермы стержень читается 2— 1; на диаграмме усилий движение от
точки 2 к точке 1 направ­лено снизу вверх. Перенесем это движение на стержень 2—1 — оно направлено к
узлу D, т. е. стержень сжат (на диаграмме усилие по­казано жирной линией);
в)рассмотрим узел С. В этом узле сходятся четыре стержня, причем усилия в двух из них (е— 1 и 1—2) уже определены, а в двух(2—3 и 3-е) неизвестны. На диаграмме усилий уже есть точки 2 и е. Проведем через
точку 2 линию, параллельную стержню 2—3,а через точку е — линию, параллельную стержню 3-е.

Точку пересечения этих линий обозначим цифрой 3, соответствующей полю, которое лежит между
стержнями 2—3 и 3-е. Длина линии 2—3 на диаграмме равна 0,45 см. Это значит, что усилие в стержне
2—3 равно 0,45 • 15 = 6,75 кН. Длина линии 3-е равна 4 см, т.е. усилие в стержне 3-е равно 4 • 15 = 60 кН.
Определим знак усилия 2—3: на схеме стержень фермы читает­ся 2—3; на диаграмме усилий движение от
точки 2 к точке 3 на­правлено сверху вниз. Перенесем это движение на стержень 2—3 — оно направлено к
узлу С, т. е. стержень сжат (на диаграмме — жир­ная линия). Определим знак усилия 3-е: стержень нижнего
пояса читается 3-е; на диаграмме усилий движение от точки 3 к точке е направлено слева направо. Перенесем
это движение на стержень 3-е — оно направлено от узла С, т. е. стержень растянут (на диа­грамме — тонкая
линия);
г)рассмотрим узел Е. В этом узле неизвестны усилия в стержнях d —4 и 4—3. На диаграмме проводим через
точки d и 3 линии, параллельные стержням d— 4 и 4—3, до пересечения в точке, которую обозначим цифрой 4.
Усилие в стержне d— 4 равно 4 • 15 = 60 кН, а в стержне 4—3 — 0,8 • 15 = 12 кН. Оба стержня сжаты;
д) узел G. В нем неизвестны усилия 4—5 и 5—е. На диаграмме проводим линии через точки 4 и е параллельно стержням 4—5 и 5—е, получим точку 5. Усилие в стержне 4—5 равно 0,9 • 15 == 13,5 кН (он растянут), в
стержне 5—е — 3,4 -15 = 51 кН (тоже растянут);
е) узел L. В нем неизвестны усилия в стержнях 5—5' и 5'—е. На диаграмме проводим линии параллельно этим стержням через точки 5 и е, получим точку 5'. Усилие в стержне 5—5' равно 1,1 • 15 == 16,5 кН (он растянут). Из диаграммы видно, что линия е—5‘ симметрична линии е —5 (или точка 5' расположена симметрично точке 5 относительно горизонтальной линии, проходящей через точку е).
На этом можно закончить построение диаграммы, так как усилия в симметричных стержнях одинаковы. Заполним таблицу усилий (табл. 1).

4. Графическая часть