Стационарное электрическое поле

8-800-333-86-44
Клиентам
Авторам
Цены и срокиСпособы оплатыОтзывыО компанииКонтакты
Вход
Главная
Блог
Полезно знать
Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля: смысл, способы решения
Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля: смысл, способы решения
Полезно знать Подготовка к экзамену Физика для "чайников"
Иван27 Июнь 201717 264
Нет времени писать работу?
Доверь это кандидату наук!
Узнай стоимость
Содержание
Содержание
Первое уравнение Максвелла
Третье уравнение Максвелла
Второе уравнение Максвелла
Четвертое уравнение Максвелла
Уравнения Максвелла в электродинамике – это как законы Ньютона в классической механике или как постулаты Эйнштейна в теории относительности. Фундаментальные уравнения, в сущности которых мы сегодня будем разбираться, чтобы не впадать в ступор от одного их упоминания.
Уравнения Максвелла – это система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающая любые электромагнитные поля, связь между токами и электрическими зарядами в любых средах.
Уравнения Максвелла неохотно принимались и критически воспринимались учеными-современниками Максвелла. Все потому, что эти уравнения не были похожи ни на что из известного людям ранее.
Тем не менее, и по сей день нет никаких сомнений в правильности уравнений Максвелла, они «работают» не только в привычном нам макромире, но и в области квантовой механики.
Уравнения Максвелла совершили настоящий переворот в восприятии людьми научной картины мира. Так, они предвосхитили открытие радиоволн и показали, что свет имеет электромагнитную природу.
Стационарное электрическое поле
Первое уравнение: электрический заряд порождает электрическое поле
Второе уравнение: изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле
Третье уравнение: магнитных зарядов не существует
Четвертое уравнение: электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Уравнения Максвелла
Исключив зависимость от времени, получаем:
Из второго следует, что Е можно представить в виде
- скалярный потенциал
Минус выбран для того, чтобы выполнить общепринятое условие:
«вектор Е направлен от положительного заряда к отрицательному»

Электростатическая энергия
Точечный заряд – конечный заряд, сконцентрированный в столь малой области, что ее размерами можно пренебречь по сравнению с другими характерными размерами рассматриваемой задачи.
Сила, действующая на заряд, равна , где E- поле, создаваемое другими стационарно распределенными зарядами.
Работа, совершаемая над зарядом при перемещении из точки r1
в другую точку r2 равна
Работа, произведенная при медленном перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю. Поля, в которых работа зависит только от конечных положений, но не от пути, называются консервативными

Потенциал определен с точностью до постоянной , поскольку
Устраним неоднозначность, договорившись, что потенциал равен работе, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из бесконечности в точку
Поверхности называют эквипотенциальными
Вектор лежит на эквипотенциальной поверхности
- компоненты градиента
То, что означает, что электрическое поле перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.
Линии, касающиеся в каждой точке Е названы силовыми.
Чтобы малое смещение вдоль силовой линии
Совпадало с Е должно быть

Дифференциальные уравнения силовых линий
Примеры силовых линий и эквипотенциальных поверхностей
1
2
3
1. Два точечных заряда разных знаков.
2. Два одинаковых точечных заряда
3. Три отрицательных и два положительных заряда

Соотношение между компонентами D и Е обычно линейны:
Получаем связь потенциала с зарядами:
В однородной среде потенциал описывается уравнением Пуассона
В точках, где нет зарядов это уравнение сводится к уравнению Лапласа

Основная задача электростатики
Определение функции , удовлетворяющей в каждой точке пространства уравнению Пуассона, а на заданных поверхностях – граничным условиям.

Граничные условия
Рассматривается малый, (такой что на каждом из торцов индукция не меняется) цилиндр высотой
Пусть плавно меняется по высоте, а заряд сохраняется. Когда боковая поверхность уменьшится до нуля .
- плотность зарядов на поверхности.
Рассмотрим контур L с нормалью
- нормаль к поверхности.
-вектор вдоль E.
Проекция E на
Наличие зарядов на поверхности приводит к скачку индукции, равном поверхностной плотности заряда в кулонах на кв. метр
При переходе через поверхность разрыва тангенциальная компонента эл. поля непрерывна

Граничные условия для потенциала
Из следует
Из следует
Из консервативности поля следует непрерывность потенциала на границе

Лапласиан в различных системах координат
В декартовых
В цилиндрических
В сферических

Определение поля по заданному распределению зарядов
Потенциал в заданной точке (x’,y’,z’) внутри объема V можно выразить через объемный интеграл по объему V и поверхностный интеграл по S.
Заряд распределен в объеме с конечной плотностью .
Воспользуемся теоремой Грина
Примем
удовлетворяет уравнению Лапласа , но в точке r=0 особенность.
Избавимся от нее, окружив точку (x’,y’,z’) малой сферой S2.

Подставляя в уравнение Грина получим
На сферической поверхности S2
поэтому
Если заменить и средними значениями, то получим
при . Это значение
интеграла по S2. Тогда
Можем выразить потенциал через плотность заряда (без особенностей)

Если в V1 нет зарядов, то
Это значит, что интеграл по поверхности выражает вклад в потенциал в точке от зарядов, расположенных вне объема V1.
Если вне этого объема нет зарядов, то поверхностный интеграл должен равняться нулю.
Интеграл частное решение уравнения Пуассона.
Если точка лежит вне области, содержащей заряды на расстоянии R от какой-либо точки этого объема то при R много большем
линейных размеров этой области
Определение: Потенциальная функция регулярна на бесконечности, если при произведение остается ограниченным.
На больших расстояниях распределение потенциала зависит только от R
E направлен по радиусу и тоже ограничено.

Поверхность S1 делит пространство на две области внутреннюю V1 и внешнюю V2 . Теорему Грина можно применить в этом случае, считая , что S2 удалена на бесконечность.
Величины и исчезают, как и интеграл по S2 стремится к нулю
Если в области V2 нет зарядов, то повторив преобразования, проделанные выше получим
и
Поле точечного заряда обратно пропорционально квадрату расстояния и направлено по радиусу от заряда q, если заряд положителен.
Так получили закон Кулона!

Точка r=0 особая. Полагать, что где-то в природе поле становится бесконечным никаких оснований нет. Это лишь математика.
Если в каком-то объеме распределен электрический заряд с плотностью , то потенциал и электрическое поле можно получить интегрированием:
Может возникнуть вопрос, можно ли использовать эти формулы внутри объема с зарядом, поскольку там возникают особенности при r=0.
Интегралы оказываются сходящимися. Если особую точку окружить сферой, то при уменьшении ее радиуса знаменатель стремится к нулю, как квадрат радиуса, а заряд, как его куб, поэтому вклад в поле особой точки оказывается нулевым.

Спасибо за внимание