Теорема Гаусса и её применение к расчету электрических полей. Лекция 14

Поток вектора напряжённости электрического поля
Исходные посылки:
S – поверхность, находящаяся в электрическом поле;
dS – элементарная (бесконечно малая) площадка на этой поверхности (обозначена синим цветом);
– единичный вектор нормали к площадке dS
– напряжённость электрического поля в той точке, где находится площадка dS;
α – угол между векторами и .

По определению
называется вектором площади поверхности; по модулю он равен dS, а по направлению совпадает с
Поток вектора напряженности электрического поля dФE через элемент поверхности dS – СФВ, равная скалярному произведению вектора напряженности и вектора площади поверхности:

Аддитивность потока вектора напряженности электрического поля.
Предположим, что N зарядов образуют электрическое поле, которое пронизывает площадь поверхности . В соответствии с принципом суперпозиции напряженность результирующего поля равна векторной сумме напряженностей полей Ei, создаваемых каждым из N зарядов в отдельности:
Поэтому, результирующий поток вектора напряженности электрического поля равен алгебраической сумме потоков, образованных всеми компонентами:

В каких случаях легко получить аналитическое выражение для потока ФE вектора ?
1) Если вектор направлен по касательной к поверхности, то в этом случае
2) Если вектор во всех точках поверхности имеет одинаковую величину (E=const) и направлен перпендикулярно поверхности в этом случае ФE=E∙S.
3) Если однородное электрическое поле пронизывает плоскую поверхность S (α=const), тогда ФE=E∙S∙cosα.

Поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённой на ε0 электрическую постоянную.
Теорема Гаусса основывается на законе Кулона и имеет тот же фундаментальный смысл: источниками электрического поля является электрические заряды. Благодаря этой формуле возможно рассчитать практически любое электростатическое поле, создаваемое любым телом.
Окружность на символе интеграла означает, что интеграл вычисляется по замкнутой поверхности S.
Гаусс
Карл Фридрих
(1777 - 1855)
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Пример нулевого потока
Поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность равен нулю, если внутри поверхности сумма зарядов равняется нулю, либо электрический заряд изначально отсутствует (частный случай)!
Замкнутая
поверхность

Алгоритм расчёта электрического поля
с использованием теоремы Гаусса.
Постановка задачи: рассчитаем напряжённость электрического поля, созданного симметричным заряженным телом с заданной плотностью заряда в произвольной точке A.
Алгоритм решения

Расчёт напряжённости электрического поля
бесконечной равномерно заряженной нити (цилиндра) с линейной плотностью τ.
а) Как направлены линии напряжённости?

б) На каких поверхностях модуль вектора имеет постоянное значение?
в) Какую замкнутую гауссову поверхность выберем?
Линии напряжённости перпендикулярны к нити и симметричны относительно неё.

E=const на цилиндрических поверхностях, ось которых совпадает с нитью.
Выбираем в качестве гауссовой поверхности замкнутый цилиндр радиуса r произвольной высоты h с осью, совпадающей с нитью, т.к. он проходит через точку A.

- применив теорему Гаусса, получим
- линейная плотность заряда
Заряд внутри цилиндра пропорционален h.

1. Поле точечного заряда
Формулы для расчета некоторых электростатических полей в вакууме
Поле точечного заряда обладает центральной симметрией;
Выберем в качестве произвольной замкнутой поверхности сферу радиуса r;
Для всех точек этой сферы E(r)=const;
Запишем теорему Гаусса

2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Важно! Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Для такой плоскости поверхностная плотность заряда σ=const. Линии её эл. ст. поля – прямые, перпендикулярные к ней и направленные от плоскости, если σ>0, и к ней, если σ<0.
Формулы для расчета некоторых электростатических полей в вакууме

3. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей
Важно! Поля и этих плоскостей за плоскостями противоположно направлены и компенсируют друг друга
между плоскостями и сонаправлены и

4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности
Важно! Если r содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).
График зависимости E(r) приведен на рисунке

5. Поле объёмно заряженного шара
Важно! Напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри него изменяется линейно с расстоянием r согласно выражению (4).

6. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)
Важно! Если r зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области E=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (5), внутри же его поле отсутствует.