Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей

Остроградский Михаил Васильевич
(1801 – 1862), отечественный математик и механик. Учился в Харьковском ун-те (1816 – 1820), совершенствовал знания в Париже (1822 – 1827).
Основные работы в области математического анализа, математической физики, теоретической механики.
Решил ряд важных задач гидродинамики, теории теплоты, упругости, баллистики, электростатики, в частности задачу распространения волн на поверхности жидкости (1826 г.).
Получил дифференциальное уравнение распространения тепла в твердых телах и жидкостях.
Известен как соавтор тео­ремы Остроградского-Гаусса в электро­статике (1828 г.).

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)
немецкий математик, астроном и физик.
В 1832 г. создал абсолютную систему мер (СГС), введя три основных единицы: единицу времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу массы – 1 мг.
В 1833 г. совмест­но с В. Вебером построил первый в Герма­нии электромагнитный телеграф.
Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной скорости распростране­ния электромагнитных взаимодействий. Изу­чал земной магнетизм, изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр.
Сформулировал принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса).
Один из первых высказал в 1818 г. предположение о возможности существования неевклидовой геометрии.

Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем.
2.1. Поток вектора напряжённости
Число силовых линий электростатического поля, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряжённости, должно быть равно модулю вектора . И называется потоком вектора напряженности ФE через эту поверхность

Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности Ф через эту поверхность.
В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .
Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

если на рисунке выделить площадку S то напряженность изображенного поля будет равна

Для первого рисунка – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е.
Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь.
Общий поток через поверхность А равен нулю.

Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S.
2.3. Теорема Остроградского-Гаусса
поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен:
Т.е. в однородном поле
В произвольном электрическом поле

Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1.

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1.
В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна

Тогда поток через S1

Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

Из непрерывности линии следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине:
– теорема Гаусса для одного заряда.

Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности:
– теорема Гаусса для нескольких зарядов.
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0.

Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю:

Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен:
– если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;
– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;
этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства:
Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электрона или протона .

Суммарный заряд объема dV будет равен:
Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
– это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.

Пусть заряд распределен в пространстве ΔV, с объемной плотностью . Тогда
2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса
Величину, являющуюся пределом отношения
к ΔV, при , называют дивергенцией поля Е и обозначается

Дивергенция поля Е
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля.
Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат.
В декартовой системе координат

Итак,
Это теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме.
Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла)
где i, j, k – орты осей (единичные векторы).

Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается:
дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:
dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости
Тогда

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:
Внутри поверхности заключён заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим:
откуда видно, что напряжённость поля плоскости S равна:

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноимёнными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей
Вне плоскостей напряженность поля
Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):
Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Сила притяжения между пластинами конденсатора:
где S – площадь обкладок конденсатора.
Т.к.
Это формула для расчета пондермоторной силы

Пусть поле создаётся бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью
где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси).

Для оснований цилиндров
для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд
По теореме Остроградского-Гаусса
Тогда
Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет.

Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра показано на рис

2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать
В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как в п. 2.5.3:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).
Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара

Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда
откуда поле вне сферы:
Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Как видно, вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Для поля вне шара радиусом R получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:
2.5.6. Поле объемного заряженного шара

Внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный
где ρ – объемная плотность заряда: объем шара:
Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем

Т.е. внутри шара
Т.е., внутри шара имеем

Таким образом, имеем:
поле объемного заряженного шара