Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля. Лекция 4

Метод зеркальных изображений

Используется для расчета поля заряженных проводников , расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду
+q
jy
h
ε
x
U = const
σ
+q
–q
U = const
ε
ε
h
h
jy
x
Сопоставляя левую и правую картины полей , можем утверждать, что из-за одинаковой геометрии и граничных условий картины поля в верхней полуплоскости идентичны, а, следовательно, все характеристики поля полностью совпадают.

Отразим заряд +τ1 от вертикальной стенки, вследствие чего появится второй заряд противоположного знака –τ2 , и оба эти заряда оказались расположенными над горизонтальной проводящей плоскостью. Отразим эти заряды в горизонтальной плоскости и получим еще два заряда ( τ21 и –τ11). Полная система из четырех зарядов образует картину поля в диэлектрике, часть которой в первом квадранте совпадает с исходной картиной поля.
+τ1
-τ2
-τ11
+τ21
Применение метода зеркальных изображений возможно и в случае, когда заряды находятся внутри диэлектрика между гранями двугранного угла «α», образованного проводящими поверхностями, если

Метод конформных отображений

Расчет поля методом конформных отображений основан на том, что существует возможность отобразить с помощью некоторого математического преобразования заданную область в комплексной плоскости « z » (x + jy) на так называемую каноническую область в комплексной плоскости « ω » ( ξ+jη).
Z
jy
1
2
X
Z
K
αω
ωk
ω
1
2
jη
ξ
Преобразование называется конформным, так как при переходе от одной области к другой либо обратно сохраняются углы в точках пересечения между любыми линиями в обеих областях αz = αω

Существует общий подход к преобразованию произвольной многоугольной области, ограниченной ломаной линией на верхнюю полуплоскость и обратно с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца
1. Двугранный угол (α) – поле между двумя проводящими плоскостями, сходящимися под углом
jy
z
U = 0
α
U = 0
B
C
A
X
jη
ξ
C
B
A

Положение точки на первой грани (точка A) :
- в исходной области Z
- в области ω
Положение точки на второй грани (точка B) :
- в исходной области Z
- в области ω
Положение любой точки на биссектрисе угла (точка C):
- в исходной области Z
- в области ω

2. Бесконечно глубокий проводящий паз шириной d
jy
jη
A
E
F
d
B
O
C
X
D
F
A
B
O
C
D
Z
E

Положение угловых точек B и C
Положение точек A и D
Положение точки E

3. Плоскость с вертикальным выступом (стеной), высотой (h)
A
B
h
D
jy
X
A
O
C
O
D
B
z

Положение точки C
Положение точки O
Положение точек A и D
Положение точки B
(y>h)

Комплексный потенциал и плотность заряда (σ) на примере
плоскости с выступом
z0 = x0 + jy0
+τ
Координата заряженного провода
в плоскости Z
- координата заряженного провода в плоскости
+τ
Используем метод зеркальных изображений
Координата зеркально расположенного заряда
Комплексный потенциал в системе двух зарядов

Выразим через Z для перехода к исходной области.
Напряженность электрического поля в любой точке:
После упрощения:
σ = D = ε E
- плотность заряда на поверхности проводников