Уравнения равновесия

Теория напряжений является общей для всех разделов механики сплошной среды: теории упругости, теории пластичности и теории ползучести.
Сформулируем правила знаков для напряжений.
Нормальные напряжения положительны, если их направление совпадает с направлением внешней нормали;
Касательные напряжения будем считать положительными, когда они направлены по осям координат на площадках с внешней нормалью, направленной по оси координат, и когда они направлены против направления осей координат на площадках с внешней нормалью, направленной против направления оси координат.

Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности

Эти уравнения используются в двух целях:
1.для определения напряжений на наклонных площадках, т.е. для установления напряженного состояния в окрестностях точки.
2.для постановки статических граничных условий.
В этом случае Xn, Yn, Zn будут представлять собой компоненты внешних нагрузок, которые должны быть связаны с напряженным состоянием внутри тела.
Полное напряжение на площадке:

Можно найти нормальное напряжение σn:

Главные напряжения
Свойство главной площадки: на главной площадке касательные напряжения равны нулю.

Предположим, что наклонная площадка является главной. Тогда вектор полного напряжения pn будет совпадать с нормалью к площадке и, следовательно, касательные напряжения равны нулю. Тогда:
Xn=σcos(n^x)
Yn=σcos(n^y)
Zn=σcos(n^z)
Подставим эти значения в формулы для определения напряжений на наклонных площадках:

Xn= σxcos(n^x)+ τxycos(n^y)+ τxzcos(n^z)
Так как Xn=σcos(n^x), получим:
(σx-σ)cos(n^x)+ τxycos(n^y)+ τxzcos(n^z)=0.
Рассуждая аналогично можно получить следующую систему уравнений:
(σx-σ)cos(n^x)+ τxycos(n^y)+ τxzcos(n^z)=0
τyxcos(n^x)+ (σy-σ)cos(n^y)+ τyzcos(n^z)=0
τzxcos(n^x)+ τzycos(n^y)+ (σz-σ)cos(n^z)+ =0