Элементы алгебры логики

2 4
6 8
С

А
В

С

Ребус

Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и т.д.). Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Элементы алгебры логики

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
Что такое высказывание?

В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
Январь – зимний месяц.
Москва – столица России.
Приведите примеры.
Высказывание

Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Как красив закат!
Войдите в класс.
Ты выучил стихотворение?
Высказывание
Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:
Информатика – очень интересный предмет.

Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием.
Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0.
Таким образом, А = 1, В = 0.

Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):
в естественном языке соответствует союзу или;
обозначение V ;
в языках программирования обозначение Or.
Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.
Диаграмма Эйлера-Венна:

Таблица истинности

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):
в естественном языке соответствует союзу и;
в алгебре высказываний обозначение &;
в языках программирования обозначение And.
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
Диаграмма Эйлера-Венна:

Таблица истинности

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.
Диаграмма Эйлера-Венна:

Таблица истинности:

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):
в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;
обозначение А → В.
Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Таблица истинности

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):
В естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае;
обозначения А ↔ В, А~В .
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности

Логические операции имеют следующий приоритет:
действия в скобках, инверсия, &, V, →, ↔.

Простые и сложные высказывания

Задание 1. Определите истинность составного высказывания:
( A & B ) & (C V D),
состоящего из простых высказываний:
А = {Принтер – устройство вывода информации},
В = {Процессор – устройство хранения информации},
С = {Монитор – устройство вывода информации},
D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

Решение:
А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.
( 1 & 0 ) & (1 V 0) =
(0&1) & (1V 0) =
0

Задание 2. Выделите в составных высказываниях простые. Обозначьте каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.
Число 376 четное и трехзначное.
Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3
Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

Задание 3. Найдите значения логических выражений
а) (1V1)V(1V 0);
б) ((1V0)V1)V1;
в) (0V1)V(1V0);
г) (0&1)&1;
д) 1&(1&1)&1;

Задание 4. Даны два простых высказывания (устно):
А = {2 * 2 = 4}, В = {2 * 2 = 5}.
Какие из составных высказываний истинны:
а) A ;
б) B;
в) А & В;
г) A V В;
д) А → В;
е) А ↔ В.