Использование нечеткой логики в экспертных системах

Использование нечеткой логики
в экспертных системах
Напомним, что нечеткую логику предложил Л.Заде, который распространил булеву логику на действительные числа.
В булевой логике 1 представляет истину, а 0 – ложь.
То же имеет место и в нечеткой логике, но кроме того, здесь используются также дроби между 0 и 1 для указания «частичной» истины. Так запись
p(высокий(Х)) = 0.75
Означает, что предложение «Х – высокий», в некотором смысле на три четверти истинно. Точно так же оно на одну четверть ложно.
Особенности нечеткой логики

Особенности нечеткой логики
В нечеткой логике определены эквиваленты операций И, ИЛИ и НЕ:
p1 И p2 = min (p1, p2) (т.е. меньшее)
p1 ИЛИ p2 = max (p1, p2) (т.е. большее)
НЕ p1 = 1 - p1 (т.е. «обратное значение»)
Т.о., нечеткие сведения можно комбинировать на основе строгих логических методов. Поэтому нечеткая логика может применяться в практических системах, например, в системах поддержки принятия решений.

Слабым местом в нечеткой логике является функция принадлежности, вернее ее выбор. Предположим, что Петру 35 лет. Насколько истинно предположение, что он молодой? Равна ли его истинность величине 0.5, поскольку он прожил примерно полжизни, или 0.6?
Какова должна быть функция принадлежности, каков должен быть ее график (кривая или прямая)?
Особенности нечеткой логики

Для предпочтения одного вида функции другому нет серьезных рациональных обоснований, поэтому в реальной задаче могут присутствовать десятки и сотни подобных функций, каждая из которых до некоторой степени является произвольной.
Поэтому в практических системах, использующих нечеткую логику, например, в системе REVEAL, предусматриваются средства, позволяющие пользователю легко модифицировать различные принадлежности и/или устанавливать форму их графика.
Проблема выбора функции принадлежности

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности.
Наибольшее распространение получили:
треугольная,
трапецеидальная и
гауссова функции принадлежности.
Проблема выбора функции принадлежности

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:
При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).
Проблема выбора функции принадлежности

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.
Проблема выбора функции принадлежности

Функция принадлежности гауссова типа (нормальное распределение) описывается формулой
и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр σ отвечает за крутизну функции.
Проблема выбора функции принадлежности

Еще одной проблемой при использовании нечеткой логики является проблема взвешивания отдельных сведений и их использование в «нечетких правилах».
Предположим, что имеется два нечетких правила с одним и тем же следствием:
Правило 1: если a И b то c.
Правило 2: если e ИЛИ f то c.
При этом известны степени истинности (определенности) a, b, e и f:
p(a) = 1; p(b) = 0.8; p(e) = 0.5; p(f) = 0.4 .
Тогда из Правила 1 степень истинности
p(c) = min (1, 0.8) = 0.8 ,
а из Правила 2 p(c) = max (0.5, 0.4) = 0.5 .
Какое из этих значений p(c) выбрать? Первое, второе? А может быть взять их среднее арифметическое?
Проблема взвешивания отдельных сведений

Шортлифф (E. Shortliffe) разработал схему, основанную на так называемых коэффициентах уверенности, которые он ввел для измерения степени доверия к любому данному заключению, являющемуся результатом полученных к этому моменту свидетельств.
Коэффициент уверенности – это разность между двумя мерами:
КУ [h : e] = МД [h : e] - МНД [h : e], (1)
где
КУ [h : e] – уверенность в гипотезе h с учетом свидетельств e,
МД [h : e] – мера доверия гипотезе h при заданных свидетельствах e,
МНД [h : e] – мера недоверия гипотезе h при свидетельствах e.
КУ может изменяться от -1 (абсолютная ложь) до +1 (абсолютная истина), причем 0 означает полное незнание.
Схема Шортлиффа.
Использование коэффициентов уверенности

Таким образом КУ – это простой способ взвешивания свидетельств «за» и «против».
Заметим, что приведенная формула не позволяет отличить случай противоречащих свидетельств (и МД, и МНД обе велики) от случая недостаточной информации (и МД, и МНД обе малы), что иногда бывает полезно.
Заметим также, что ни КУ, ни МД, ни МНД, не являются вероятностными мерами.
МД и МНД подчиняются некоторым аксиомам теории вероятности, но не являются выборками какой-нибудь популяции, и, следовательно, им нельзя дать статическую интерпретацию. Они просто позволяют упорядочить гипотезы в соответствии с той степенью обоснованности, которая у них есть.
Схема Шортлиффа.
Использование коэффициентов уверенности

Шортлифф ввел формулу уточнения для взвешивания свидетельств.
Формула уточнения позволяет непосредственно сочетать новую информации со старыми результатами. Она применяется и мерам доверия и недоверия, связанным с каждым предположением.
Формула для МД выглядит следующим образом:
МД [h : e1, e2] = МД [h : e1] + МД [h : e2]*(1 - МД [h : e1]) , (2)
где запятая между свидетельствами e1 и e2 означает,
что e2 следует за e1.
Аналогичным образом уточняются значения МНД.
Смысл формулы состоит в том, что эффект второго свидетельства e2 на гипотезу h при заданном свидетельстве e1 сказывается в смещении МД в сторону полной определенности на расстояние, зависящее от второго свидетельства.
Схема Шортлиффа.
Взвешивание свидетельств

Формула (2) имеет два важных свойства:
Она симметрична в том смысле, что порядок e1 и e2 не существенен.
По мере накопления подкрепляющих свидетельств МД (или МНД) движется к определенности.
Вернемся к примеру
Правило 1: если a И b то c.
Правило 2: если e ИЛИ f то c.
При этом степени истинности a, b, e и f:
p(a) = 1; p(b) = 0.8; p(e) = 0.5; p(f) = 0.4 .
Из Правила 1 степень определенности p(c) = min (1, 0.8) = 0.8 ,
из Правила 2 p(c) = max (0.5, 0.4) = 0.5 .
Схема Шортлиффа.
Формула уточнения

Схема Шортлиффа.
Формула уточнения
Применяя формулу (2) получаем:
МД [c : Правило 1, Правило 2] =
МД [c : Правило 1] + МД [c : Правило 2]*(1 - МД [c : Правило 1])
= 0.8 + 0.5*(1 – 0.8) = 0.9.
Итак МД [c : Правило 1, Правило 2] = 0.9.
Т.о. объединенная мера доверия оказывается выше, чем при учете каждого свидетельства, взятого отдельно.
Это согласуется с нашей интуицией, что несколько показывающих одно и то же направление свидетельств подкрепляют друг друга.
Кроме того, можно поменять порядок применения правил 1 и 2, но на результатах это не отразится.

Схема Шортлиффа.
Надежность правил
Схема Шортлиффа допускает также возможность того, что правила, как и данные, могут быть ненадежными. Это позволяет описывать более широкий класс ситуаций.
Каждое правило снабжается «коэффициентом ослабления» (числом от 0 до 1), показывающим надежность правила.
Так, если в нашем примере мы снабдим Правило 1 коэффициентом ослабления 0.6, а Правило 2 – коэффициентом 0.8, получим следующее:
МД [c : Правило 1 ] = min (1, 0.8)*0.6 = 0.48
МД [c : Правило 2] = = max (0.5, 0.4)*0.8 = 0.4
Применяя формулу уточнения (2) получаем:
МД [c : Правило 1, Правило 2] =
МД [c : Правило 1] + МД [c : Правило 2]*(1 - МД [c : Правило 1])
= 0.48 + 0.4*(1 – 0.48) = 0.48 + 0.208 = 0.688 .