Лекция 2 2020

Учебные вопросы:
Представление целых беззнаковых чисел
Представление чисел с фиксированной точкой
Операции над числами с фиксированной точкой
Представление чисел с плавающей точкой
Арифметические операции над числами с плавающей точкой

Память состоит из нумерованных ячеек.
Линейная структура (адрес ячейки – одно число).
Байт – это наименьшая ячейка памяти, имеющая собственный адрес.
На современных компьютерах 1 байт = 8 бит.
Слово = 2 байта
Двойное слово = 4 байта
Структура памяти
1. Представление целых беззнаковых чисел

Целые беззнаковые числа
Беззнаковые данные – не могут быть отрицательными.
Для представления беззнаковых чисел может использоваться 1 или несколько байт.
Для беззнаковых в 1 байт (8 бит) диапазон значений
0…255, 0…FF16 = 28 – 1.
Си: unsigned char Паскаль: byte
10011102 = 4E16 = ‘N’
416
E16
младший полубайт
младшая цифра
старший полубайт
старшая цифра
Старший
байт
Младший
байт

Примеры
78 =
115 =
221 =
255 =

Целое без знака размером 2 байта (16 бит)
диапазон значений 0…65535, 0…FFFF16 = 216-1
Си: unsigned int Паскаль: word
биты
старший байт
младший байт
4D16
7A16
1001101011110102 = 4D7A16
Длинное целое без знака рамером 4 байта диапазон значений 0…FFFFFFFF16 = 232-1
Си: unsigned long int Паскаль: dword

2. Представление чисел с фиксированной точкой
Числа с фиксированной точкой — форма представления вещественных чисел, когда точкой отделяется целая часть от дробной. Например, 12.54
С фиксированной точкой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением точки, отделяющей целую часть числа от дробной.
Число в компьютере занимает определенное количество разрядов (бит), кратное 8:
8, 16, 32, 64.

Пример 1.
Пусть даны числа 123.6, 0.01 и 1.5143.
Записать их в виде числа с фиксированной точкой при условии, что под каждое число выделяется 8 разрядов – 4 под целую часть и 4 под дробную.
Ответ:

Такая форма представления наиболее проста для восприятия, но имеет существенный недостаток: - программирование операций для чисел с фиксированной точкой, требует усилий по отслеживанию положения точки.
Поэтому в современных компьютерах форма представления чисел с фиксированной точкой используется как вспомогательная.

В восьми разрядной сетке числа с фиксированной точкой (байтовые числа) могут быть представлены в диапазоне значений:
max
min
можно работать с отрицательными числами
уменьшился диапазон положительных чисел
127
– 128
Числа с фиксированной точкой в ЭВМ
Старший (знаковый) бит числа определяет его знак. Если он равен 0, число положительное, если 1, то отрицательное.
-2n-1 … 2n-1-1
– 128 = – 27 … 127 = 27 – 1

Слово со знаком занимает 2 байта (16 бит) и может быть представлено в диапазоне значений
-215 … 215-1
- 32768 … 32767
Си: int Паскаль: integer
Двойное слово со знаком занимает 4 байта
и диапазон значений
-231 … 231-1
Си: long int Паскаль: longint

3. Коды чисел и операции над ними

Такой способ представления числа является наиболее естественным, так как обеспечивает простой переход от двоичной записи числа к записи его двоичного (прямого) кода:
Прямой код имеет существенные недостатки:
- использовании прямого кода имеется целых два кода для представления 0
+0 представляется как 0000 0000
-0 представляется как 1000 0000;
- сложно реализовать операцию вычитания, умножения и деления чисел.
3. Коды чисел и операции над ними
3.1 Прямой код

3.2 Обратный код
Обратный код для положительных чисел совпадает с прямым кодом,
Обратный код для отрицательных чисел получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа.
где - операция инвертирования двоичного кода абсолютной величины числа.

Пример представления числа -12310 в обратном коде:
1. Перевод числа -12310 в двоичное число:
2. Запись двоичного числа в прямом коде:
3.Перевод прямого кода двоичного числа в обратный:

Для обратного кода справедливо следующее соотношение:
где
xsign – значение знакового разряда, xi – значение i-го разряда,
n – разрядность числа.
Например:
1010 = 1*(-23+1)+0*20+1*21+0*22 = -7+2 = -5

При использовании обратного кода арифметические операции для отрицательных чисел выполняются проще.
Само получение обратных кодов не требует значительных усилий.
Но, как и в случае прямого кода, 0 представляется 2 кодами:
+0 представляется как 0000 0000
-0 представляется как 1111 1111

3.3 Дополнительный код
Дополнительный код для положительных чисел совпадает с прямым кодом,
Дополнительный код для отрицательных чисел получается прибавлением к младшему разряду обратного кода числа 1.

Пример представления числа -11510 в дополнительном коде:
1. Перевод числа -11510 в двоичное число:
2. Запись двоичного числа в прямом коде:
3.Перевод прямого кода двоичного числа в обратный:
4.Перевод обратного кода двоичного числа в дополнительный:

Для дополнительного кода справедливо следующее соотношение:
где
xsign – значение знакового разряда, xi – значение i-го разряда,
n – разрядность числа.
Например:
1011 = 1*(-23)+1*20+1*21+0*22 = -8+3 = -5

Анализ дополнительного кода.
- Получение дополнительного кода происходит несколько сложнее, чем обратного.
- Использование дополнительного кода упрощает арифметические операции, что будет показано позже.
- В дополнительном коде 0 имеет единственное представление :
+0=0000 0000ДК
-0=1111 1111ОК+1=0000 0000ДК
- Использование дополнительного кода дает возможность расширить диапазон представления чисел (закодировать 256 чисел) по сравнению с прямым и обратным кодами (255 чисел).
Последнее утверждение доказать самостоятельно!

3.4 Ошибки выполнения операций над кодами
Переполнение разрядной сетки: в результате сложения больших положительных чисел получается отрицательное (перенос в знаковый бит).
+
64
64
– 0

Перенос: при сложении больших (по модулю) отрицательных чисел получается положительное (перенос за границы разрядной сетки).
ДК
ДК
ПК

Учебные вопросы для самостоятельного изучения

4. Представление чисел с плавающей точкой
X = s ⋅ M ⋅ 2e
s – знак (1 или -1)
M – мантисса,
e – порядок
M = 0 или 1 ≤ M < 2
15,625 =
1111,1012 =
1⋅1,1111012 ⋅23
знак
порядок
мантисса
3,375 =
Пример:

Нормализованные числа в памяти
IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (IEEE 754)
15,625 = 1⋅1,1111012 ⋅23
s = 1 e = 3 M = 1,1111012
Знаковый бит:
0, если s = 1
1, если s = – 1
Порядок со сдвигом:
p = e + E (сдвиг)
Дробная часть мантиссы:
m = M – 1

Нормализованные числа в памяти
Типы данных для языков: Си
Паскаль

Вещественные числа в памяти
15,625 = 1,1111012 ⋅23
4 байта = 32 бита
p = e+127 = 130
=100000102
m = M – 1 = 0,1111012
3,375 =

5. Арифметические операции над числами с плавающей точкой
сложение
Порядок выравнивается до большего
5,5 = 1,0112⋅22
3 = 1,12 ⋅21 = 0,112 ⋅22
Мантиссы складываются
1,0112
+ 0,1102
10,0012
Результат нормализуется (с учетом порядка)
10,0012 ⋅22 = 1,00012 ⋅23 = 1000,12 = 8,5
5,5 + 3 = 101,12 + 112 = 8,5 = 1000,12

вычитание
Порядок выравнивается до большего
10,75 = 1,010112⋅23
5,25 = 1,01012 ⋅22 = 0,101012 ⋅23
Мантиссы вычитаются
1,010112
– 0,101012
0,101102
Результат нормализуется (с учетом порядка)
0,10112 ⋅23 = 1,0112 ⋅22 = 101,12 = 5,5
10,75 – 5,25 = 1010,112 – 101,012 = 101,12 = 5,5

умножение
Мантиссы умножаются
7 = 1,112 ⋅ 22 1,1 12
3 = 1,12 ⋅ 21 × 1,12
1 1 12
1 1 12
1 0 ,1 0 12
Порядки складываются: 2 + 1 = 3
Результат нормализуется (с учетом порядка)
10,1012 ⋅23 = 1,01012 ⋅24 = 101012 = 21
7 ⋅ 3 = 1112 ⋅ 112 = 101012 = 21

деление
Мантиссы делятся
17,25 = 1,0001012 ⋅ 24
3 = 1,12 ⋅ 21
1,0001012 : 1,12 = 0,101112
Порядки вычитаются: 4 – 1 = 3
Результат нормализуется (с учетом порядка)
0,101112 ⋅23 = 1,01112 ⋅22 = 101,112 = 5,75
17,25 : 3 = 10001,012 : 112 = 101,112 = 5,75