Параметрическая оптимизация пид – регулятора

Структурная оптимизация - определение оптимальной структуры автоматической системы.
Параметрическая оптимизация - определение оптимальных значений параметров элементов автоматической системы заданной структуры.
Критерий оптимальности – характерный показатель, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть степень удовлетворения поставленным требованиям.
В одной задаче может быть установлено несколько
критериев оптимальности.
Основные понятия и определения

Основные понятия и определения
Если критериев оптимальности несколько – задача называется многокритериальной.
Целевая функция – функция, описывающая зависимость критерия (или критериев – для многокритериальной задачи) оптимальности от параметров системы и количественно выражающая качество объекта.
Внутренние параметры системы, значения которых могут меняться в процессе оптимизации и которые являются аргументами целевой функции, называются регулируемыми параметрами.

Постановка задачи оптимизации
Постановки задачи оптимизации включает следующие этапы:
Выбор критерия (критериев) оптимальности
Выбор регулируемых параметров (аргументов целевой функции)
Построение целевой функции
Установление ограничений, налагаемых на параметры
В процессе оптимизации критерий оптимальности может максимизироваться (задача на максимум), или минимизироваться (задача на минимум).
В теории оптимизации принято рассматривать только задачи на минимум, т.к. любая задача на максимум может быть сведена к задаче на минимум путем изменения знака критерия оптимальности.

Построение целевой функции
Построение целевой функции осуществляется с использованием методов математического моделирования.
Основная проблема постановки задачи оптимизации
заключается в построении целевой функции. Сложность выбора целевой функции (функции качества) состоит в том, что объект автоматизации может иметь несколько критериев оптимальности, которые образуют векторный критерий оптимальности. Как правило, улучшение одного из критериев оптимальности приводит к ухудшению другого, так как все критерии оптимальности являются функциями одних и тех же регулируемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга.

Построение целевой функции
Целевая функция должна быть одна. Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия.
Если при наличии нескольких критериев оптимальности оптимизация проводится только по одному из критериев, на другие критерии могут накладываться ограничения.

Условная и безусловная оптимизация
Различают методы условной и безусловной оптимизации по наличию или отсутствию ограничений.
Если область определения целевой функции неограниченная, т.е. на аргументы целевой функции не наложены ограничения, то экстремум целевой функции называется безусловным, а методы поиска – методами безусловной оптимизации.
Если область определения целевой функции ограниченная, т.е. на аргументы целевой функции наложены ограничения, то искомый экстремум становится условным, а методы поиска – методами условной оптимизации.

Постановка задачи оптимизации
ПИД - регулятора
Рассматривается АС с ПИД – регулятором, передаточная функция которого имеет вид
Выбор критерия оптимальности. В качестве критерия оптимальности, в зависимости от технических требований к АС, можно выбрать время регулирования, величину перерегулирования или запас устойчивости.
Выбор регулируемых параметров. В качестве регулируемых параметров в задаче оптимизации выбираем настраиваемые параметры ПИД – регулятора
Построение целевой функции. Если в качестве критерия оптимальности выбираем время регулирования, то целевая функция имеет вид
Вычисление значений целевой функции осуществляется численными методами с использованием программы, реализованной в Octave (или в Matlab)

Решение задачи оптимизации
ПИД – регулятора в Octave и Matlab
Формально решение задачи оптимизации в данной постановке сводится к нахождению минимума функции трех переменных.
В Octave и Matlab для решение задачи поиска минимума функции нескольких переменных можно использовать функцию fmincon, которая находит минимум для скалярной функции нескольких переменных с ограничениями, начиная с начального приближения х0. В общем случае, эта задача относится к условной оптимизации.
Синтаксис: [x, val] = fmincon(fun,x0,A,b) начинает с начальной точки x0, находит значения х, при которых функция fun достигает минимума и возвращает минимальное значение целевой функции fun при условии выполнения ограничений в виде линейных неравенств A*x <= b. x0 может быть скаляром или вектором.