Программирование на алгоритмическом языке

Программирование на алгоритмическом языке
§ 54. Алгоритм и его свойства

Что такое алгоритм?
Алгоритм — это точное описание порядка действий, которые должен выполнить исполнитель для решения задачи за конечное время.
Исполнитель – это устройство или одушёвленное существо (человек), способное понять и выполнить команды, составляющие алгоритм.
Формальные исполнители: не понимают
(и не могут понять) смысл команд.

Свойства алгоритма
Дискретность — алгоритм состоит из отдельных команд, каждая из которых выполняется за конечное время.
Детерминированность (определённость) — при каждом запуске алгоритма с одними и теми же исходными данными получается один и тот же результат.
Понятность — алгоритм содержит только команды, входящие в систему команд исполнителя.
Конечность (результативность) — для корректного набора данных алгоритм должен завершаться через конечное время.
Корректность — для допустимых исходных данных алгоритм должен приводить к правильному результату.

Как работает алгоритм?
дискретный
объект
1 2 3 4
алгоритм
шаг 1
шаг 2
шаг 3
2 3 4 5
5 4 3 2
дискретный
объект
25 16 9 4
получает на вход дискретный объект
в результате строит другой дискретный объект (или выдаёт сообщение об ошибке)
обрабатывает объект по шагам
на каждом шаге получается новый дискретный объект

Способы записи алгоритмов
естественный язык
псевдокод
установить соединение
пока не принята команда «стоп»
принять команду
выполнить команду
завершить сеанс связи
установить соединение
нц
принять команду
выполнить команду
кц_при команда = 'stop'
завершить сеанс связи

Способы записи алгоритмов
блок-схема
установитьСоединение
нц
cmd:= получитьКоманду
выполнитьКоманду(cmd)
кц_при cmd = 'stop'
закрытьСоединение
программа

Программирование на алгоритмическом языке
§ 55. Простейшие программы

Простейшая программа
алг Куку
нач | начало программы
| тело программы
кон | конец программы
комментарии после |
не обрабатываются
название алгоритма

Вывод на экран
алг Куку
нач
вывод '2+'
вывод '2=?', нс
вывод 'Ответ: 4'
кон
Протокол:
2+2=?
Ответ: 4
новая строка

Задания
«B»: Вывести на экран текст «лесенкой»
Вася
пошел
гулять
«C»: Вывести на экран рисунок из букв
Ж
ЖЖЖ
ЖЖЖЖЖ
ЖЖЖЖЖЖЖ
HH HH
ZZZZZ

Сложение чисел
Задача. Ввести с клавиатуры два числа и найти их сумму.
Протокол:
Введите два целых числа
25 30
25+30=55
компьютер
пользователь
компьютер считает сам!

Сумма: псевдокод
алг Сумма
нач
| ввести два числа
| вычислить их сумму
| вывести сумму на экран
кон
Псевдокод – алгоритм на русском языке с элементами языка программирования.

Переменные
Переменная – это величина, имеющая имя, тип и значение. Значение переменной можно изменять во время работы программы.
a
Значение
Имя
Другой тип данных

Имена переменных
МОЖНО использовать
латинские буквы (A-Z), русские буквы (А-Я)
цифры
знак подчеркивания _
заглавные и строчные буквы различаются
НЕЛЬЗЯ использовать
скобки
знаки +, =, !, ? и др.
имя не может начинаться с цифры
Какие имена правильные?
AXby R&B 4Wheel Вася “PesBarbos” TU154 [QuQu] _ABBA A+B

Объявление переменных
Типы переменных:
цел | целая
вещ | вещественная
и другие…
Объявление переменных:
цел a, b, c
выделение места в памяти
тип – целые
список имен переменных

Тип переменной
область допустимых значений
допустимые операции
объём памяти
формат хранения данных
для предотвращения случайных ошибок
цел a, b = 1, c = 55
Начальные значения:

Как записать значение в переменную?
a := 5
оператор присваивания
5
Оператор – это команда языка программирования (инструкция).
Оператор присваивания – это команда для записи нового значения в переменную.
a

Ввод значения с клавиатуры
ввод a
оператор ввода
5
a

Ввод значений переменных
через пробел:
25 30
через запятую:
25,30
ввод a, b

Изменение значений переменной
цел a, b
a := 5
b := a + 2
a := (a + 2)*(b – 3)
b := b + 1
a
?
5
5
b
?
5+2
7
a
5
7*4
28
b
7
7+1
8

Вывод данных
|вывод значения |переменной a
|вывод значения |переменной a и переход |на новую строку
|вывод текста
|вывод текста и значения переменной c
вывод a
вывод a, нс
вывод 'Привет!'
вывод 'Ответ: ', c
вывод a, '+', b, '=', c

Сложение чисел: простое решение
алг Сумма
нач
цел a, b, c
ввод a, b
c := a + b
вывод c
кон

Сложение чисел: полное решение
алг Сумма
нач
цел a, b, c
вывод 'Введите два целых числа'
ввод a, b
c := a + b
вывод a, '+', b, '=', c
кон
Протокол:
Введите два целых числа
25 30
25+30=55
компьютер
пользователь
подсказка

Снова про оператор вывода
a:= 123
вывод a:5
Форматный вывод (КуМир 2.0+):
Вычисление выражений:
вывод a, '+', b, '=', a+b
a+b

Программирование на алгоритмическом языке
§ 56. Вычисления

Типы данных
цел | целое
вещ | вещественное
лог | логические значения
сим | символ
лит | литерная переменная

Арифметическое выражения
a:= (c + b*5**3 - 1) / 2 * d
Приоритет (старшинство):
скобки
возведение в степень (**)
умножение и деление
сложение и вычитание
1
2
3
4
5
6
вывод 5**3

Деление, div, mod
Результат деления «/» – вещественное число:
a:= 2 / 3
вещ a
0.6666…
div – деление нацело (остаток отбрасывается)
mod – остаток от деления
цел a, b, d
d := 85
b := div(d,10) | 8
a := mod(d,10) | 5

div и mod для отрицательных чисел
вывод div(-7,2), нс
вывод mod(-7,2)
-4
1
-7 = (-4)*2 + 1
остаток ≥ 0
7 = 3*2 + 1
-7 = (-3)*2 + (-1)

Вещественные числа
вещ x
x:= 123.456
Форматный вывод (КуМир 2.0+):
a:= 1
вывод a/3
вывод a/3:7:3
0.3333333
всего знаков
в дробной части

Вещественные числа
Экспоненциальный формат:
цел a = 1
вывод a/30000, нс
вещ b = 12345678
вывод b
3.333333e-05
1.234568e+07
3,333333 ⋅ 10–5
1,234568 ⋅ 107

Стандартные функции
abs(x) — модуль
sqrt(x) — квадратный корень
sin(x) — синус угла, заданного в радианах
cos(x) — косинус угла, заданного в радианах
exp(x) — экспонента ех
ln(x) — натуральный логарифм
int(x) — целая часть числа

Случайные числа
Случайно…
встретить друга на улице
разбить тарелку
найти 10 рублей
выиграть в лотерею
Случайный выбор:
жеребьевка на соревнованиях
выигравшие номера
в лотерее
Как получить случайность?

Случайные числа на компьютере
Электронный генератор
нужно специальное устройство
нельзя воспроизвести результаты
318458191041
564321
209938992481
458191
938992
малый период
(последовательность повторяется через 106 чисел)
Метод середины квадрата (Дж. фон Нейман)
в квадрате
Псевдослучайные числа – обладают свойствами случайных чисел, но каждое следующее число вычисляется по заданной формуле.
зерно

Линейный конгруэнтный генератор
X := mod(a*X+b, c) | интервал от 0 до c-1
X := mod(X+3, 10) | интервал от 0 до 9
X := 0
зерно
→ 3
→ 6
→ 9
→ 2
→ 5
→ 8
→ 0
зацикливание
8
→ 1
→ 4
→ 7
Компилятор GCC:
a = 1103515245
b = 12345
c = 231

Генератор случайных чисел
Вещественные числа в интервале [0,10):
вещ X, Y
X:= rand(0, 10) | интервал от 0 до 10 (<10)
Y:= rand(0, 10) | это уже другое число!
англ. random – случайный
Целые числа в интервале [0,10]:
цел K, L
K:= irand(0, 10) | интервал от 0 до 10 (<=10)
L:= irand(0, 10) | это уже другое число!
англ. Integer – целый

Задачи
«A»: Ввести с клавиатуры три целых числа, найти их сумму, произведение и среднее арифметическое.
Пример:
Введите три целых числа:
5 7 8
5+7+8=20
5*7*8=280
(5+7+8)/3=6.667
«B»: Ввести с клавиатуры координаты двух точек (A и B) на плоскости (вещественные числа). Вычислить длину отрезка AB.
Пример:
Введите координаты точки A:
5.5 3.5
Введите координаты точки B:
1.5 2
Длина отрезка AB = 4.272

Задачи
«C»: Получить случайное трехзначное число и вывести через запятую его отдельные цифры.
Пример:
Получено число 123.
Его цифры 1, 2, 3.

Программирование на алгоритмическом языке
§ 57. Ветвления

Условный оператор
Задача: изменить порядок действий в зависимости от выполнения некоторого условия.
полная форма ветвления

Условный оператор: полная форма
Полная форма:
если a > b то
M:= a
иначе
M:= b
все

Условный оператор: неполная форма
неполная форма ветвления
M:= a
если b > a то
M:= b
все

Условный оператор
если a < b то
с:= a
a:= b b:= c
все
4
6
?
4
6
4
a
b
3
2
1
c

Знаки отношений
>
<
>=
<=
=
<>
больше, меньше
больше или равно
меньше или равно
равно
не равно

Вложенные условные операторы
если a = b то
вывод 'Одного возраста'
иначе
все
если a > b то
вывод 'Андрей старше'
иначе
вывод 'Борис старше'
все
вложенный условный оператор
Задача: в переменных a и b записаны возрасты Андрея и Бориса. Кто из них старше?

Задачи
«A»: Ввести три целых числа, найти максимальное из них.
Пример:
Введите три целых числа:
1 5 4
Максимальное число 5
«B»: Ввести пять целых чисел, найти максимальное из них.
Пример:
Введите пять целых чисел:
1 5 4 3 2
Максимальное число 5

Задачи
«C»: Ввести последовательно возраст Антона, Бориса и Виктора. Определить, кто из них старше.
Пример:
Возраст Антона: 15
Возраст Бориса: 17
Возраст Виктора: 16
Ответ: Борис старше всех.
Пример:
Возраст Антона: 17
Возраст Бориса: 17
Возраст Виктора: 16
Ответ: Антон и Борис старше Виктора.

Сложные условия
Задача: набор сотрудников в возрасте 25-40 лет (включительно).
если то
вывод 'подходит'
иначе
вывод 'не подходит'
все
и
или
не
Приоритет :
отношения (<, >, <=, >=, =, <>)
не
и
или
v >= 25 и v <= 40
сложное условие

Задачи
«A»: Напишите программу, которая получает три числа и выводит количество одинаковых чисел в этой цепочке.
Пример:
Введите три числа:
5 5 5
Все числа одинаковые.
Пример:
Введите три числа:
5 7 5
Два числа одинаковые.
Пример:
Введите три числа:
5 7 8
Нет одинаковых чисел.

Задачи
«B»: Напишите программу, которая получает номер месяца и выводит соответствующее ему время года или сообщение об ошибке.
Пример:
Введите номер месяца:
5
Весна.
Пример:
Введите номер месяца:
15
Неверный номер месяца.

Задачи
«C»: Напишите программу, которая получает возраст человека (целое число, не превышающее 120) и выводит этот возраст со словом «год», «года» или «лет». Например, «21 год», «22 года», «25 лет».
Пример:
Введите возраст: 18
Вам 18 лет.
Пример:
Введите возраст: 21
Вам 21 год.
Пример:
Введите возраст: 22
Вам 22 года.

Задачи
«A»: Напишите условие, которое определяет заштрихованную область.
«B»: Напишите условие, которое определяет заштрихованную область.

Задачи
«C»: Напишите условие, которое определяет заштрихованную область.

Множественный выбор
если m = 1 то
вывод 'январь' все
если m = 2 то
вывод 'февраль' все
...
если m = 12 то
вывод 'декабрь' все
выбор
при m = 1: вывод 'январь'
при m = 2: вывод 'февраль'
...
при m = 12: вывод 'декабрь'
иначе вывод 'ошибка'
все

Множественный выбор
выбор
при x < 0: sgn:= -1
при x = 0: sgn:= 0
при x > 0: sgn:= 1
все
Знак числа:
любое условие

Множественный выбор
сим c
...
выбор
при c = 'а':
вывод 'антилопа', нс
вывод 'Анапа' ...
при c = 'я':
вывод 'ягуар', нс
вывод 'Якутск'
иначе
вывод 'ошибка'
все
несколько операторов в блоке

Программирование на алгоритмическом языке
§ 58. Циклические алгоритмы

Что такое цикл?
Цикл – это многократное выполнение одинаковых действий.
Два вида циклов:
цикл с известным числом шагов (сделать 10 раз)
цикл с неизвестным числом шагов (делать, пока не надоест)
Задача. Вывести на экран 10 раз слово «Привет».

Повторения в программе
вывод 'Привет', нс
вывод 'Привет', нс
вывод 'Привет', нс
...
вывод 'Привет', нс

Повторения в программе
алг Привет
нач
нц 10 раз
вывод "Привет!", нс
кц
кон
конец цикла
начало цикла
вывод 'Привет!', нс
тело цикла

Блок-схема цикла
начало
конец
да
нет
тело цикла

Как организовать цикл?
счётчик:= 0
пока счётчик < 10
вывод 'привет', нс
увеличить счётчик на 1
счётчик:= 10
пока счётчик > 0
вывод 'привет', нс
уменьшить счётчик на 1
✔
результат операции автоматически сравнивается с нулём!

Число шагов – переменная
цел N
вывод 'Сколько раз? '
ввод N
нц N раз
вывод 'Привет!', нс
кц
Ввести количество повторений с клавиатуры:

Цикл с условием
Задача. Определить количество цифр в десятичной записи целого положительного числа, записанного в переменную n.
счётчик:= 0
пока n > 0
отсечь последнюю цифру n
увеличить счётчик на 1
n:= div(n,10)
счётчик:= счётчик + 1

Цикл с условием
count:= 0
нц пока
кц
n:= div(n,10)
count:= count + 1
тело цикла
начальное значение счётчика
n > 0
условие продолжения
заголовок цикла
конец цикла

Цикл с условием
k:= 0
нц пока k < 10
вывод 'привет', нс
k:= k + 1
кц
При известном количестве шагов:
k:= 0
нц пока k < 10
вывод 'привет', нс
кц
Зацикливание:

Сколько раз выполняется цикл?
a:= 4; b:= 6
нц пока a < b; a:= a + 1 кц
2 раза
a = 6
a:= 4; b:= 6
нц пока a < b; a:= a + b кц
1 раз
a = 10
a:= 4; b:= 6
нц пока a > b; a:= a + 1 кц
0 раз
a = 4
a:= 4; b:= 6
нц пока a < b; b:= a – b кц
1 раз
b = -2
a:= 4; b:= 6
нц пока a < b; a:= a – 1 кц
зацикливание

Цикл с постусловием
нц
кц при ;
условие окончания
заголовок цикла
вывод 'Введите n > 0: '
ввод n
n > 0
тело цикла
при входе в цикл условие не проверяется
цикл всегда выполняется хотя бы один раз
в последней строке указывают условие окончания цикла, а не условие его продолжения

Задачи
«A»: Напишите программу, которая получает два целых числа A и B (0 < A < B) и выводит квадраты всех натуральных чисел в интервале от A до B.
Пример:
Введите два целых числа:
10 12
10*10=100
11*11=121
12*12=144
«B»: Напишите программу, которая получает два целых числа и находит их произведение, не используя операцию умножения. Учтите, что числа могут быть отрицательными.
Пример:
Введите два числа:
10 -15
10*(-15)=-150

Задачи
«C»: Ввести натуральное число N и вычислить сумму всех чисел Фибоначчи, меньших N. Предусмотрите защиту от ввода отрицательного числа N.
Пример:
Введите число N:
10000
Сумма 17710

Задачи-2
«A»: Ввести натуральное число и найти сумму его цифр.
Пример:
Введите натуральное число:
12345
Сумма цифр 15.
«B»: Ввести натуральное число и определить, верно ли, что в его записи есть две одинаковые цифры, стоящие рядом.
Пример:
Введите натуральное число:
12342
Нет.
Пример:
Введите натуральное число:
12245
Да.

Задачи-2
«C»: Ввести натуральное число и определить, верно ли, что в его записи есть две одинаковые цифры (не обязательно стоящие рядом).
Пример:
Введите натуральное число:
12342
Да.
Пример:
Введите натуральное число:
12345
Нет.

Цикл с переменной
Задача. Вывести все степени двойки от 21 до 210.
n:= 2
нц пока
вывод n, нс
n:= n * 2
кц
k:= 1
k <= 10
k:= k + 1
n:= 2
нц для
вывод n, нс
n:= n * 2
кц
k от 1 до 10

Цикл с переменной: другой шаг
нц для k от 10 до 1 вывод k*k, нс
кц
шаг -1
цел k
целое
целое
целое
100
81
64
49
36
25
16
9
4
1

Сколько раз выполняется цикл?
a := 1
нц для i от 1 до 3; a:=a+1 кц
a = 4
a := 1
нц для i от 3 до 1; a:=a+1 кц
a = 1
a := 1
нц для i от 1 до 3 шаг -1; a:=a+1 кц
a = 1
a := 1
нц для i от 3 до 1 шаг -1; a:=a+1 кц
a = 4

Задачи
«A»: Найдите все пятизначные числа, которые при делении на 133 дают в остатке 125, а при делении на 134 дают в остатке 111.
«B»: Натуральное число называется числом Армстронга, если сумма цифр числа, возведенных в N-ную степень (где N – количество цифр в числе) равна самому числу. Например, 153 = 13 + 53 + 33. Найдите все трёхзначные Армстронга.

Задачи
«С»: Натуральное число называется автоморфным, если оно равно последним цифрам своего квадрата. Например, 252 = 625. Напишите программу, которая получает натуральное число N и выводит на экран все автоморфные числа, не превосходящие N.
Пример:
Введите N:
1000
1*1=1
5*5=25
6*6=36
25*25=625
76*76=5776

Вложенные циклы
Задача. Вывести все простые числа в диапазоне
от 2 до 1000.
нц для n от 2 до 1000
если число n простое то
вывод n, нс
все
кц
число n простое
нет делителей [2.. n-1]: проверка в цикле!

Вложенные циклы
нц для n от 2 до 1000
count:= 0
если count = 0 то
вывод n, нс
все
кц
нц для k от 2 до n-1
если mod(n,k)= 0 то
count:= count + 1
все
кц
вложенный цикл

Вложенные циклы
нц для i от 1 до 4
нц для k от 1 до i
вывод i, ' ', k, нс
кц
кц
1 1
2 1
2 2
3 1
3 2
3 3
4 1
4 2
4 3
4 4

Поиск простых чисел – как улучшить?
count:= 0
k:= 2
нц пока
если mod(n,k) = 0 то
count:= count + 1
все
k:= k + 1
кц
нц пока k <= sqrt(n)
...
кц
нц пока k*k <= n и
...
кц
k*k <= n
(count = 0)

Задачи
«A»: Напишите программу, которая получает натуральные числа A и B (A выводит все простые числа в интервале от A до B.
Пример:
Введите границы диапазона:
10 20
11 13 17 19
«B»: В магазине продается мастика в ящиках по 15 кг,
17 кг, 21 кг. Как купить ровно 185 кг мастики, не вскрывая ящики? Сколькими способами можно это сделать?

Задачи
«C»: Ввести натуральное число N и вывести все натуральные числа, не превосходящие N и делящиеся на каждую из своих цифр.
Пример:
Введите N:
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 15

Программирование на алгоритмическом языке
§ 59. Процедуры

Зачем нужны процедуры?
вывод 'Ошибка программы'
много раз!
алг С процедурой
нач
цел n
ввод n
если n < 0 то Error все
...
кон
вызов процедуры
алг Error
нач
вывод 'Ошибка программы'
кон

Что такое процедура?
Процедура – вспомогательный алгоритм, который выполняет некоторые действия.
текст (расшифровка) процедуры записывается
после основной программы
в программе может быть много процедур
чтобы процедура заработала, нужно вызвать её по имени из основной программы или из другой процедуры

Процедура с параметрами
Задача. Вывести на экран запись целого числа (0..255) в 8-битном двоичном коде.
много раз!
Алгоритм:
178
⇒
101100102
7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 1 1 0 0 1 02
разряды
n:=
div(n,128)
mod(n,128)
div(n1,64)

Процедура с параметрами
Задача. Вывести на экран запись целого числа (0..255) в 8-битном двоичном коде.
Алгоритм:
k:= 128
нц пока k > 0
вывод div(n,k)
n:= mod(n,k)
k:= div(k,2)
кц
178
⇒
10110010

Процедура с параметрами
алг Двоичный код
нач
printBin(99)
кон
значение параметра
(аргумент)
алг printBin(цел n0)
нач
цел n, k n:= n0
k:= 128
нц пока k > 0
вывод div(n,k)
n:= mod(n,k)
k:= div(k,2)
кц
кон
Параметры – данные, изменяющие работу процедуры.
локальные переменные

Несколько параметров
алг printSred(цел a, цел b)
нач
вывод (a+b) / 2
кон
алг printSred(цел a, b)
нач
вывод (a+b) / 2
кон

Задачи
«A»: Напишите процедуру, которая принимает параметр – натуральное число N – и выводит на экран линию из N символов '–'.
Пример:
Введите N:
10
----------
«B»: Напишите процедуру, которая выводит на экран в столбик все цифры переданного ей числа, начиная с первой.
Пример:
Введите натуральное число:
1234
1
2
3
4

Задачи
«C»: Напишите процедуру, которая выводит на экран запись переданного ей числа в римской системе счисления.
Пример:
Введите натуральное число:
2013
MMXIII

Изменяемые параметры
Задача. Написать процедуру, которая меняет местами значения двух переменных.
алг Тест
нач цел x = 2, y = 3
Обмен(x, y)
вывод x, ' ', y
кон
алг Обмен(цел a, b)
нач
цел c
c:= a; a:= b; b:= c
кон
2 3
передача по значению

Изменяемые параметры
алг Обмен ( цел a, b)
нач
цел c
c:= a; a:= b; b:= c
кон
передача по ссылке
переменные могут изменяться (аргумент и результат)
аргрез
цел a, b
Обмен(a, b) | правильно
Обмен(2, 3) | неправильно
Обмен(a, b+3) | неправильно
Вызов:

Задачи
«A»: Напишите процедуру, которая переставляет три переданные ей числа в порядке возрастания.
Пример:
Введите три натуральных числа:
10 15 5
5 10 15
«B»: Напишите процедуру, которая сокращает дробь вида M/N. Числитель и знаменатель дроби передаются как изменяемые параметры.
Пример:
Введите числитель и знаменатель дроби:
25 15
После сокращения: 5/3

Задачи
«C»: Напишите процедуру, которая вычисляет наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел и возвращает их через изменяемые параметры.
Пример:
Введите два натуральных числа:
10 15
НОД(10,15)=5
НОК(10,15)=30

Программирование на алгоритмическом языке
§ 60. Функции

Что такое функция?
Функция – это вспомогательный алгоритм, который возвращает значение-результат (число, символ или объект другого типа).
Задача. Написать функцию, которая вычисляет сумму цифр числа.
Алгоритм:
сумма:= 0
нц пока n <> 0
сумма:= сумма + mod(n,10)
n:= div(n,10)
кц

Сумма цифр числа
алг Сумма цифр
нач
вывод sumDigits(12345)
кон
алг sumDigits(цел n0)
нач
цел sum = 0, n
n:= n0
нц пока n <> 0
sum:= sum + mod(n,10)
n:= div(n,10)
кц
кон
знач:= sum
передача результата
цел
тип результата

Использование функций
x:= 2*sumDigits(n+5)
z:= sumDigits(k) + sumDigits(m)
если mod(sumDigits(n),2)= 0
вывод 'Сумма цифр чётная', нс
вывод 'Она равна ', sumDigits(n)
кц

Задачи
«A»: Напишите функцию, которая находит наибольший общий делитель двух натуральных чисел.
Пример:
Введите два натуральных числа:
7006652 112307574
НОД(7006652,112307574) = 1234.
«B»: Напишите функцию, которая определяет сумму цифр переданного ей числа.
Пример:
Введите натуральное число:
123
Сумма цифр числа 123 равна 6.

Задачи
«C»: Напишите функцию, которая «переворачивает» число, то есть возвращает число, в котором цифры стоят в обратном порядке.
Пример:
Введите натуральное число:
1234
После переворота: 4321.

Логические функции
Задача. Найти все простые числа в диапазоне
от 2 до 100.
алг Простые числа
нач
цел i
нц для i от 2 до 100
если то
вывод i, нс
все
кц
кон
i - простое
функция, возвращающая логическое значение (да/нет)
isPrime(i)

Функция: простое число или нет?
алг isPrime(цел n)
нач
цел count = 0, k k:= 2
нц пока k*k <= n и count = 0
если mod(n,k)= 0 то
count:= count + 1
все
k:= k + 1
кц
кон
лог
знач:= (count = 0)
если count = 0 то
знач:= да
иначе знач:= нет

Логические функции: использование
ввод n
нц пока isPrime(n)
вывод 'простое число', нс
ввод n
кц

Задачи
«A»: Напишите логическую функцию, которая определяет, является ли переданное ей число совершенным, то есть, равно ли оно сумме своих делителей, меньших его самого.
Пример:
Введите натуральное число:
28
Число 28 совершенное.
Пример:
Введите натуральное число:
29
Число 29 не совершенное.

Задачи
«B»: Напишите логическую функцию, которая определяет, являются ли два переданные ей числа взаимно простыми, то есть, не имеющими общих делителей, кроме 1.
Пример:
Введите два натуральных числа:
28 15
Числа 28 и 15 взаимно простые.
Пример:
Введите два натуральных числа:
28 16
Числа 28 и 16 не взаимно простые.

Задачи
«С»: Простое число называется гиперпростым, если любое число, получающееся из него откидыванием нескольких цифр, тоже является простым. Например, число 733 – гиперпростое, так как и оно само, и числа 73 и 7 – простые. Напишите логическую функцию, которая определяет, верно ли, что переданное ей число – гиперпростое. Используйте уже готовую функцию isPrime, которая приведена в учебнике.
Пример:
Введите натуральное число:
733
Число 733 гиперпростое.
Пример:
Введите натуральное число:
19
Число 19 не гиперпростое.

Программирование на алгоритмическом языке
§ 61. Рекурсия

Что такое рекурсия?
У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:
У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:
…

Что такое рекурсия?
Натуральные числа:
индуктивное определение
Рекурсия — это способ определения множества объектов через само это множество на основе заданных простых базовых случаев.
Числа Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Фракталы
Фракталы – геометрические фигуры, обладающие самоподобием.
Треугольник Серпинского:

Ханойские башни
за один раз переносится один диск
класть только меньший диск на больший
третий стержень вспомогательный
перенести (n-1, 1, 2)
1 -> 3
перенести (n-1, 2, 3)
перенести (n, 1, 3)

Ханойские башни – процедура
алг Hanoi(цел n, k, m)
нач
цел p
p := 6 - k - m
Hanoi(n-1, k, p)
вывод k, ' -> ', m, нс
Hanoi(n-1, p, m)
кон
номер вспомогательного стержня (1+2+3=6!)
сколько
откуда
куда
рекурсия
рекурсия

Ханойские башни – процедура
Рекурсивная процедура (функция) — это процедура (функция), которая вызывает сама себя напрямую или через другие процедуры и функции.
алг Hanoi(цел n, k, m)
нач
цел p
p := 6 - k - m
Hanoi(n-1, k, p)
вывод k, ' -> ', m, нс
Hanoi(n-1, p, m)
кон
если n = 0 то выход все
условие выхода из рекурсии
алг Ханойские башни
нач
Hanoi(4, 1, 3)
кон

Вывод двоичного кода числа
алг printBin(цел n)
нач
если n = 0 то выход все
printBin ( div(n,2) )
вывод mod ( n, 2 )
кон
условие выхода из рекурсии
напечатать все цифры, кроме последней
вывести последнюю цифру
10011
printBin( 19 )
printBin( 9 )
printBin( 4 )
printBin( 2 )
printBin( 1 )
printBin( 0 )

Вычисление суммы цифр числа
алг цел sumDig(цел n)
нач
знач:= mod(n,10)
если n >= 10 то
знач:= знач + sumDig( div(n,10) )
все
кон
рекурсивный вызов
sumDig( 1234 )
4 + sumDig( 123 )
4 + 3 + sumDig( 12 )
4 + 3 + 2 + sumDig( 1 )
4 + 3 + 2 + 1
последняя цифра

Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида. Чтобы найти НОД двух натуральных чисел, нужно вычитать из большего числа меньшее до тех пор, пока меньшее не станет равно нулю. Тогда второе число и есть НОД исходных чисел.
алг цел NOD(цел a, b)
нач
если a = 0 или b = 0 то
выход
все
если a > b то
знач:= NOD(a - b, b)
иначе знач:= NOD(a, b - a)
все
кон
знач:= a + b
рекурсивные вызовы
условие окончания рекурсии

Задачи
«A»: Напишите рекурсивную функцию, которая вычисляет НОД двух натуральных чисел, используя модифицированный алгоритм Евклида.
Пример:
Введите два натуральных числа:
7006652 112307574
НОД(7006652,112307574)=1234.
«B»: Напишите рекурсивную функцию, которая раскладывает число на простые сомножители.
Пример:
Введите натуральное число:
378
378 = 2*3*3*3*7

Задачи
«C»: Дано натуральное число N. Требуется получить и вывести на экран количество всех возможных различных способов представления этого числа в виде суммы натуральных чисел (то есть, 1 + 2 и 2 + 1 – это один и тот же способ разложения числа 3). Решите задачу с помощью рекурсивной функции.
Пример:
Введите натуральное число:
4
Количество разложений: 4.

Как работает рекурсия?
алг цел Fact(цел N)
нач
вывод '-> N = ', N, нс
если N <= 1 то
знач:= 1
иначе знач:= N * Fact(N-1)
все
вывод '<- N = ', N, нс
кон
-> N = 3
-> N = 2
-> N = 1
<- N = 1
<- N = 2
<- N = 3
Факториал:

Стек
Стек – область памяти, в которой хранятся локальные переменные и адреса возврата.
Fact(3)
Fact(2)
Fact(1)
значение параметра
адрес возврата
локальная переменная

Рекурсия – «за» и «против»
с каждым новым вызовом расходуется память в стеке (возможно переполнение стека)
затраты на выполнение служебных операций при рекурсивном вызове
программа становится более короткой и понятной
возможно переполнение стека
замедление работы
алг цел Fact(цел N)
нач
цел i
знач:= 1
нц для i от 1 до N
знач:= знач * i
кц
кон
итерационный алгоритм

Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[email protected]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[email protected]