Самостоятельное изучение темы системы счисления

СОДЕРЖАНИЕ
Что такое «Система счисления»? Типы СС
Определение термина «Система счисления»
Непозиционная СС
Позиционная СС
Характеристика систем счисления
Основные характеристики
Двоичная СС
Восьмеричная СС
Десятичная СС
Шестнадцатеричная СС
Проверь себя

СОДЕРЖАНИЕ
Способы перевода чисел из одной СС в другую
Из десятичной
Из двоичной
Из восьмеричной
Из шестнадцатеричной
Проверь себя
Арифметические операции в СС
В двоичной СС
В восьмеричной и шестнадцатеричной СС

Что такое «Система счисления»?
Система счисления – это правила записи чисел с помощью специальных знаков – цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.
Существует два основных типа систем счисления: непозиционные системы счисления и позиционные.
Содержание

Типы систем счисления
Непозиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение цифры не зависит от её места в записи числа.
Пример:
Первоначально люди считали на пальцах. Один загнутый палец обозначал единицу. Такая система счисления называется унарной(она включает в себя только одну цифру, обозначающую 1).
В унарной системе счисления цифра всегда будет обозначать только единицу, независимо от своего положения!
Содержание

Типы систем счисления
Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа.
Пример:
В повседневной жизни мы применяем десятичную систему счисления. Допустим, что нам дано число 637. В этом числе цифра 6 обозначает сотни, цифра 3 – десятки, а цифра 7 – единицы.
Содержание

Характеристика систем счисления
Две основные характеристики систем счисления:
Алфавит системы счисления – это используемый в ней набор цифр.
Основание системы счисления – это количество цифр в алфавите(мощность алфавита).
Содержание

Характеристика систем счисления
Двоичная СС:
Алфавит состоит из двух цифр: 0 и 1;
Основание СС = 2;
Примеры чисел, записанных в данной СС:
100112, 10011012, 1010102, 1101012
В числе не может быть цифры, которая не входит в алфавит системы!!!
Индекс, записываемый снизу после цифр, равен основанию СС
Содержание

Характеристика систем счисления
Восьмеричная СС:
Алфавит состоит из восьми цифр: 0, 1, 2…7;
Основание СС = 8;
Примеры чисел, записанных в данной СС:
1248, 24258, 4017648, 12345678
Содержание

Характеристика систем счисления
Десятичная СС:
Алфавит состоит из десяти цифр: 0, 1, 2…9;
Основание СС = 10;
Примеры чисел, записанных в данной СС:
391, 987, 12048710, 548902
Обратите внимание!
Именно десятичную систему счисления мы используем в повседневной жизни.
При записи чисел в данной СС допускается отсутствие индекса!
Содержание

Характеристика систем счисления
Шестнадцатеричная СС:
Алфавит состоит из шестнадцати цифр: 0, 1, 2…15;
Основание СС = 16;
Примеры чисел, записанных в данной СС:
1BC16, 5E12316, 2B16, A7E16
Внимание!
Так как для записи в данной системе счисления цифр от 10 до 15 нам требуется две клетки, то цифры в этом промежутке принято записывать с помощью первых шести букв английского алфавита.

Характеристика систем счисления
Пример записи чисел, включающих цифры от 10 до 15:
Допустим, что нам нужно записать в шестнадцатеричной СС число, состоящее из двух цифр: 3 и 12. Если мы запишем его так: 31216, то можно подумать, что число состоит из трёх цифр: 3, 1 и 2. Чтобы не возникало подобной путаницы, мы можем записать необходимое нам число в таком виде: 3C16. Тогда мы хорошо видим, что число состоит из двух цифр: из 3 и 12(C).
Таким образом:
10=A 13=D
11=B 14=E
12=C 15=F
Содержание

Характеристика систем счисления
Проверь себя. К какой СС может относится это число?
234 –
1011 –
837 –
14A –
45819 –
Для того, чтобы увидеть ответы, перейди на следующий слайд!

Характеристика систем счисления
Проверь себя. К какой СС может относится это число?
234 – восьмеричная/десятичная/шестнадцатеричная СС
1011 – двоичная/восьмеричная/десятичная/шестнадцатеричная СС
837 – десятичная/шестнадцатеричная СС
14A – шестнадцатеричная СС
45819 – десятичная/шестнадцатеричная СС
! Если число включает в себя цифру, не входящую в алфавит данной системы, оно не может относиться к этой СС. Если же все цифры числа входят в промежуток алфавита этой системы, то число может относится к данной СС.
Содержание

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из десятичной CC в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную:
Перевод целых десятичных чисел в любую другую систему счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в частном мы не получим нуля. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Например, переведём число 36 в двоичную систему счисления:
1) 36/2=18(остаток 0)
2) 18/2=9(остаток 0)
3) 9/2=4(остаток 1)
4) 4/2=2(остаток 0)
5) 2/2=1(остаток 0)
6) 1/2=0(остаток 1)
Таким образом, записывая остатки от деления в обратном порядке мы получаем число 100100. Значит, 3610→1001002.

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из десятичной CC в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную:
Попробуйте перевести число 57 аналогичным образом в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления:
5710 →?8
5710 →?16
Проверь себя:
Перевод в восьмеричную СС:
1) 57/8=7(остаток 1)
2) 7/8=0(остаток 7)
Выписав остатки в обратном порядке получили число 71. Значит, 5710→718.
Перевод в шестнадцатеричную СС:
1) 57/16=3(остаток 9)
2) 3/16=0(остаток 3)
Выписав остатки в обратном порядке получили число 39. Значит, 5710→3916.
Содержание

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из двоичной CC в восьмеричную/десятичную/шестнадцатеричную:
Как перевести число из двоичной СС в десятичную?
Итак, мы имеем число 1001002. Каждая цифра в числе, записанном в двоичной СС, относится к определённому разряду степени числа 2. Эти разряды необходимо записывать под/над цифрами справа налево(начиная с нулевой степени!), т. е.:
1001002
5 4 3 2 1 0
Мы видим, что в разрядах нулевой, первой, третьей и четвёртой степени стоит ноль, значит, для перевода данного числа в десятичную СС нам не понадобятся нулевая, первая, третья и четвёртая степени двойки. Зато в разрядах второй и пятой степени стоит число один, т. е. число в десятичной СС состоит из суммы двух чисел: два во второй и два в пятой степени. Итак, 22+25=4+32=36.
Значит, 1001002→3610.

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из двоичной CC в восьмеричную/десятичную/шестнадцатеричную:
Как перевести число из двоичной СС в восьмеричную?
Итак, мы имеем число 11001012. Для перевода данного числа в восьмеричную СС разобьём его на триады(группы из трёх цифр), начиная справа. При этом к последней триаде(если идти справа налево) мы можем при необходимости добавить нули в начало.
Преобразовав данным образом число 1100101 мы получили 001 100 101.
Далее нам нужно перевести каждую триады в восьмеричную СС. Для этого мы складываем степени двойки в разрядах, в которых находится число 1.
1) 0012→20*1 + 21*0 + 22*0 → 20 → 18
2) 1002→20*0 + 21*0 + 22*1 → 22 → 48
3) 1012→20*1 + 21*0 + 22*1 → 20+22→ 58
Теперь запишем данные числа в том порядке, в котором расположены соответствующие им триады в изначальном числе:
11001012→1458

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из двоичной CC в восьмеричную/десятичную/шестнадцатеричную:
Как перевести число из двоичной СС в шестнадцатеричную?
Итак, мы имеем число 11001012. Для перевода данного числа в шестнадцатеричную СС используется аналогичный предыдущему алгоритм, за исключением того, что изначальное число нам нужно разбивать на тетрады(группы из четырёх цифр).
Преобразовав данным образом число 1100101 мы получили 0110 0101.
Далее нам нужно перевести каждую тетраду в шестнадцатеричную СС. Для этого мы складываем степени двойки в разрядах, в которых находится число 1.
1) 01102→20*0 + 21*1 + 22*1 + 23*0 → 21+22 → 616
2) 01012→20*1 + 21*0 + 22*1 + 23*0 → 20+22 → 516
Теперь запишем данные числа в том порядке, в котором расположены соответствующие им тетрады:
11001012→6516
Не забывайте, что для записи в шестнадцатеричной СС цифр, больших девяти, используются первые буквы английского алфавита!
Содержание

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из восьмеричной CC в двоичную/десятичную/шестнадцатеричную:
Как перевести число из восьмеричной СС в двоичную?
Итак, мы имеем число 1168. Для перевода данного числа в двоичную СС используется алгоритм, обратный алгоритму перевода числа из двоичной СС в восьмеричную. Т. е. необходимо представить каждую цифру в виде триады, записанной в двоичной СС, после чего соединить эти триады в единое число.
1) Делим цифру 1 на основание новой системы счисления:
1/2=0(остаток 1)
18→12
2) Делим цифру 1 на основание новой системы счисления:
1/2=0(остаток 1)
18→0012(добавили недостающие нули в начало для получения триады(для первого числа данное действие необязательно, т.к. нули в начале двоичного числа нам ничего не дают))
3) Делим цифру 6 на основание новой системы счисления:
6/2=3(остаток 0)
3/2=1(остаток 1)
1/2=0(остаток 1)
68→1102
4) Соединив триады в одно число получаем 1168→10011102

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из восьмеричной CC в двоичную/десятичную/шестнадцатеричную:
Как перевести число из восьмеричной СС в десятичную и шестнадцатеричную?
Перевод чисел из восьмеричной СС в десятичную осуществляется достаточно просто. Возьмём число 2578. Для того, чтобы перевести его в десятичную систему счисления нам нужно умножать 8n на цифру, которая находится в разряде степени n.
2578 → 80*7 + 81*5 + 82*2 → 1*7 + 8*5 + 64*2 → 7+40+128 → 17510
2 1 0
Что касаемо перевода из восьмеричной СС в шестнадцатеричную(и обратно!), то здесь рекомендуется использовать двоичную СС(т.е. перевести число из восьмеричной СС в двоичную, после чего перевести двоичное число в шестнадцатеричное)
Содержание

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из шестнадцатеричной CC в двоичную/восьмеричную/десятичную:
Как перевести число из шестнадцатеричной СС в двоичную?
Итак, мы имеем число AC716. Для перевода данного числа в двоичную СС необходимо каждую цифру представить в виде тетрады, записанной в двоичной СС, добавив, при необходимости, нули в начало, после чего соединить тетрады в одно число.
1) Делим цифру A(10) на основание новой системы счисления:
10/2=5(остаток 0)
5/2=2(остаток 1)
2/2=1(остаток 0)
1/2=0(остаток 1)
А16→10102
2) Делим цифру C(12) на основание новой системы счисления и получаем 11002
3) Делим цифру 7 на основание новой системы счисления и получаем 01112
4) Соединив тетрады в одно число получаем АС716→1010110001112

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Перевод из шестнадцатеричной CC в двоичную/восьмеричную/десятичную:
Как перевести число из шестнадцатеричной СС в десятичную?
Итак, мы имеем число AC716. Для перевода данного числа в десятичную СС используется алгоритм, аналогичный переходу из восьмеричной системы в десятичную. Нужно умножать 16n на цифру, которая находится в разряде степени n.
AC78 → 160*7 + 161*12 + 162*10 → 1*7 + 16*12 + 256*10 → 7+192+2560 → 275910
2 1 0
Об алгоритме перехода из шестнадцатеричной системы в восьмеричную упоминалось раннее(через двоичную СС)
Содержание

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Проверь себя, попробуй самостоятельно осуществить переводы:
1) 19→?2
2) 6A16→?8
3) 4518→?10
4) FD16→?2
5) 10011112→?8
Решение представлено на следующих слайдах

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Решение заданий:
1) 19→100112:
19/2=9(остаток 1) 9/2=4(остаток 1)
4/2=2(остаток 0)
2/2=1(остаток 0)
1/2=0(остаток 1)
Выписав остатки в обратном порядке получили число 100112

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Решение заданий:
2) 6A16→1528:
616→01102
A16→10102 6A16→11010102
0102→28
1012→58
0012→18

Способы перевода чисел из одной СС в другую
Решение заданий:
3) 4518→297:
4518 → 80*1 + 81*5 + 82*4 → 1*1 + 8*5 + 64*4 → 1+40+256 → 297
2 1 0
4) FD16→111111012:
F16→11112
D16→11012
5) 10011112→1178:
0012→18
0012→18
1112→78
Содержание

Арифметические операции в СС
Сложение в двоичной СС
При осуществлении сложения в двоичной СС используются следующие правила:
0+0=0 1+0=1 1+1=102 1+1+1=112
В двух последних случаях в десятичной СС мы бы получили числа 2 и 3, но они не входят в алфавит двоичной системы, поэтому мы использовали дополнительный разряд для записи суммы чисел 1, 1 и 1, 1, 1.
Попробуем сложить в столбик числа 101102 и 1110112:
1 1 1 1 1
101102 Единицами сверху мы обозначили перенос из предыдущего разряда
+ 1110112
10100012

Арифметические операции в СС
Вычитание в двоичной СС
При осуществлении вычитания в двоичной СС используются следующие правила:
0-0=0 1-0=1 1-1=0 102-1=1
В последнем случае нам приходится брать заём из предыдущего разряда. Когда мы берём заём в двоичной СС, то в текущий разряд мы добавляем 102=210(основание СС). Следовательно, все промежуточные разряды между текущим и тем, откуда берётся заём, заполняются единицами.
Пример:
0 1 1 2 0 2
10001012 Если необходимо из меньшего числа отнять большее, то осуществляют
- 110112 вычитание меньшего из большего и ставят в начале знак «минус»
1010102

Арифметические операции в СС
Умножение, деление в двоичной СС
Умножение и деление столбиком в двоичной системе выполняется так же, как и в десятичной, за исключением того, что используются правила двоичного сложения и вычитания:
101012 101012
* 1012 - 1112
101012 1112
+ 101012__ 1112
11010012
1112
112
0
Содержание

Арифметические операции в СС
Сложение, вычитание в восьмеричной СС
При вычислениях в восьмеричной системе нужно помнить, что максимальная цифра – это 7. Тогда при вычитании в текущий разряд мы будем занимать 8, а промежуточные разряды между текущим и разрядом, откуда осуществляется заём, заполняются цифрой 7, а при сложении перенос будет возникать, если цифра, полученная при сложении, будет больше 7:
1 1 1 • •
3568 4568
+ 46628 - 2778
52408 1578

Арифметические операции в СС
Сложение, вычитание в шестнадцатеричной СС
При вычислениях в шестнадцатеричной системе нужно помнить, что максимальная цифра – это F(15). Тогда при вычитании в текущий разряд мы будем занимать 16, а промежуточные разряды между текущим и разрядом, откуда осуществляется заём, заполняются цифрой F(15), а при сложении перенос будет возникать, если цифра, полученная при сложении, будет больше F(15):
1 1 • •
A5B16 C5B16
+ C7E16 - A7E16
16D916 1DD16

Арифметические операции в СС
Умножение, деление в восьмеричной и шестнадцатеричной СС
Умножение и деление в восьмеричной и шестнадцатеричной СС выполняется аналогично десятичной СС, за исключением того, что необходимо использовать таблицы умножения, предназначенные именно для той СС, в которой осуществляется счёт.
Таблица умножения для восьмеричной СС