Системы счисления

Система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов. Это могут быть как цифры, так и буквы.
В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления,
в которых значение символа зависит от его положения в числе.
Позиционные системы счисления отличаются друг от друга алфавитом —
множеством используемых символов.
Размер алфавита (число символов) называется основанием системы счисления.
Позиция символа в изображении числа называется разрядом.

Любое число С в позиционной системе счисления можно представить в развернутой форме
т.е. в виде суммы разрядных слагаемых
p — основание системы счисления, целое положительное число;
с —цифра числа;
n — номер старшего разряда числа.
Например.
Десятичные числа в развернутой форме будут имеет вид:
С10 = 4718,6310 = 4*103 + 7*102 + 1*101 + 8*100 + 6*10-1 + 3*10-2
С10 = 58910 → 500 + 80 + 9 = 5*100 + 8*10 + 9*1 = 5*102+8*101 + 9*100
последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием P – это остаток от деления этого числа на P
две последние цифры – это остаток от деления на P2, и т.д.

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.
Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.
ВАЖНО!!!
Рассмотрим десятичное число 249.
Последняя цифра числа (9) – это остаток от деления числа 249 на 10.
Последние две цифры образуют число 49 – это остаток от деления числа 249 на 100.
Например.

Троичная система счисления
2123=2+1*3+2*32=2310
Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке
(2 – это последняя цифра числа в троичной системе).
Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 =123 ).
Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления.

p=2 → алфавит двоичной системы счисления - 0, 1.
В развёрнутой форме двоичное число 1011012 можно записать так:
1011012 = 1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20
p=8 → алфавит восьмеричной системы счисления - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
В развёрнутой форме восьмеричное число 7348 можно записать так:
7348=7*82+3*81+4*80
p=16 → алфавит шестнадцатеричной системы счисления
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
В развёрнутой форме шестнадцатеричное число можно записать так:
E7F816=E*163+7*162+F*161+8*160

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другую.
Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую надо последовательно делить нацело десятичное число на основание новой системы счисления и записывать остатки от деления. Деление производится до тех пор, пока частное от деления не будет меньше нового основания системы. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления справа налево.

Лайфхак. Быстрый перевод в двоичную систему.
Любое целое десятичное число можно представить в виде суммы степеней двойки.
(Степени двойки надо знать наизусть! )
В этой сумме слагаемые выстраиваются от большего к меньшему и по порядку.
Затем те степени двойки, которые присутствуют - заменяются на 1,
а которые отсутствуют на 0.

Для перевода чисел, записанных в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.
Например: 123456678 = 001 010 011 100 101 110 110 1112 = 1 010 011 100 101 110 110 1112
Для получения двоичной триады, эквивалентной восьмеричной цифре, можно использовать правило «421», в основе которого лежит представление числа в виде суммы степеней двойки.
В триаде необходимо записать единицы на местах тех цифр (4,2,1), сумма которых даёт значение восьмеричной цифры. На месте остальных цифр записать 0.
Примеры.
78 = 4+2+1 = 1112
38 = 2+1 = 0112
68 = 4+2 = 1102
58 = 4+1 = 1012

Для перевода чисел, записанных в шестнадцатеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру шестнадцатеричного числа представить тетрадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.
Для получения двоичной триады, эквивалентной шестнадцатеричной цифре, можно использовать правило «8421», в основе которого лежит представление числа в виде суммы степеней двойки.
В тетраде необходимо записать единицы на местах тех цифр (8,4,2,1), сумма которых даёт значение шестнадцатеричной цифры. На месте остальных цифр записать 0.
Примеры.
F16 = 1510 = 8+4+2+1 = 11112
C16 = 1210 = 8+4 = 11002
D16 = 1310 = 8+4+1 = 11012
916 = 910 = 8+1 = 10012

Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо записать это число в развёрнутой форме и вычислить его значение.
Примеры.
1128 = 1*82 + 1*81+ 2*80 = 64 + 8 + 2=7410
BF 16 = 11*161 + 15*160 = 176 + 15=19110, т.к. B 16 = 1110 и F 16 = 1510
19 F 16 = 1*162 + 9*161+ F *160 = 1*256 + 9*16 + 15*1 = 41510
101102 = 1*24+ 0*23+ 1*22+ 1*21+ 0*20= 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 2210
Перевод целых чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления .

№1. Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления,
в которых число 17 заканчивается на 2?
Решение.
Последняя цифра в записи числа - это первый остаток от деления числа на основание СС.
Следовательно 17-2=15. И надо найти все делители числа 15. Это 3, 5, 15.
Проверим: 1710 = 1223 = 325 =1215
№2 . Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления,
в которых число22 заканчивается на 4?
Решение.
Последняя цифра в записи числа - это первый остаток от деления числа на основание СС.
Раз число заканчивается на 4, то основание системы счисления больше 3, т.к. в системе счисления с основанием 3 последняя цифра не может быть 4.
Следовательно 22- 4=18. Делители числа 18 - 3, 6, 9, 18.
Учитывая условие задачи это 6, 9,18.
Проверим: 2210 = 346 2210 =249 2210 =1418
ТИП №1

Самостоятельно.
№3 .Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления,
в которых число 40 заканчивается на 4?
№4. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40
заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
№5. Укажите в порядке возрастания все основания систем счисления,
в которых число 25 заканчивается на 7?
№6 В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124
заканчиваются на 5. Определите основание системы счисления.

Ответы
№3 – 6, 9, 12, 18, 36
№4 - 13
№5 – 9, 18
№6 – 17

ТИП №2
Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N
заканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Найти основание системы счисления?
Решение.
В Р=2 для хранения числа 67 необходимо 7 цифр, т.к. 64 < 67 <128 или 26< 67<27
В Р=3 для хранения числа 67 необходимо 4 цифры, т.к. 27 < 67 <81 или 33< 67<34
Проверим условие «заканчивается на 1».
Переведём 67 в Р=3 , причём нам нужен только первый остаток (именно на него заканчивается число)
67/3=22 и 1 в остатке
Следовательно, основание СС Р= 3 .

Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры,
запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры,
а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N?
Запишите ответ в десятичной системе счисления.
Решение.
Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры:
6 ≤ N < 36 (610=106 )
запись числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры:
25 ≤ N < 125 (2510=1005)
Объединим неравенства и получим 25 ≤ N < 36
N в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1, т.е. N можно представить как 11*k +1.
25 ≤ 11*k +1 < 36
24 ≤ 11*k < 35
Целое k, которое удовлетворяет условию = 3.
Отсюда N=11*k +1=33+1=34
Ответ: 34

Задача №1
Запись числа 6810 в системе счисления с основанием N заканчивается
на 2 и содержит 3 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
Задача №2
Запись числа 6310 в системе счисления с основанием N заканчивается
на 3 и содержит 3 цифры. В скольких системах счисления это имеет место?
Задача №3
Запись числа N в системе счисления c основанием 7 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 13 заканчивается на 3. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.
Самостоятельно.

Решение.
В Р=2 для хранения числа 68 необходимо 7 цифр, т.к. 64 < 68 <128 или 26< 68<27
В Р=3 для хранения числа 68 необходимо 4 цифры, т.к. 27 < 68 <81 или 33< 68<34
В Р=4 для хранения числа 68 тоже необходимо 4 цифры, т.к.64< 68 <256 или 43< 68<44
В Р=5 для хранения числа 68 необходимо 3 цифры, т.к.25< 68 < 125 или 52< 68<53 , но при переводе числа 68 в Р=5 число заканчивается на 3, а не на 2 по условию.
В Р=6 для хранения числа 68 необходимо тоже 3 цифры, т.к.36< 68 < 216 или 62< 68<63
Проверим условие «заканчивается на 2».
Переведём 68 в Р=6 , причём нам нужен только первый остаток (именно на него заканчивается число)
68/6=11 и 2 в остатке
Следовательно, основание СС Р= 6 .
Задача №1

Задача №2
Решение.
В Р=2 для хранения числа 63 необходимо 6 цифр, т.к. 32 < 63 <64 или 25< 63<26
В Р=3 для хранения числа 63 необходимо 4 цифры, т.к. 27 < 63 <81 или 33< 63<34
В Р=4 для хранения числа 63 необходимо 3 цифры, т.к. 16< 63 <64 или 42< 63<43
Проверим условие «заканчивается на 3». 63/4=15 и 3 в остатке. Подходит СС.
В Р=5 для хранения числа 63 тоже необходимо 3 цифры, т.к.25< 63 < 125 или 52< 63<53 , и при переводе числа 63 в Р=5 число заканчивается на 3. Подходит СС.
В Р=6 для хранения числа 63 тоже необходимо 3 цифры, т.к.36< 63 < 216 или 62< 63<63 , и при переводе числа 63 в Р=6 число заканчивается на 3. Подходит СС.
В Р=7 для хранения числа 63 тоже необходимо 3 цифры, т.к.49< 63 < 343 или 72< 63<73 но при переводе числа 63 в Р=7 число заканчивается на 0, а не на 3 по условию.
Ответ: подходит 3 СС.

Задача №3
Решение.
Запись числа N в системе счисления c основанием 7 содержит две цифры: 7 ≤ N < 49
Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит три цифры: 36 ≤ N < 1296
Объединяем неравенства ⇒ 36 ≤ N < 49
Остаток от деления на 13 равен 3, т.е. N можно представить как 13*k +3.
Целое k, которое удовлетворяет условию = 3.
Отсюда N=13*k +3=39+3=42
При k=4
N=13*4 + 3 = 55 > 49
Oтвет: N= 42

ТИП №3

Самостоятельно.
№2 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 57
записывается в виде 212. Укажите это основание.
№3 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 71
записывается в виде 78. Укажите это основание.
№4 В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129
записывается в виде 1004. Укажите это основание.

Ответы
№2 - 5
№3 - 9
№4 - 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 3?
Решение.
Переведем число 20 в систему счисления с основанием 5.
Получим 2010 =405
Выпишем все числа в системе счисления 5, которые не превышают 40 и оканчиваются на 3.
Это числа 3, 13, 23 и 33. Это числа в пятеричной системе.
Переводим в десятичную: 135=810; 235 = 1310; 335 = 1810
Ответ: 3, 8, 13, 18

Самостоятельно.
№1. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?
№2. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 100, запись которых в пятеричной системе счисления
оканчивается на 11?

Ответы
№1 – 7, 16, 25
№2 – 6, 31, 56, 81

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.
Решение.
Число 7510 в каких-то системах x1...xn заканчивается на 13, а значит, оно, заканчивается и на 3. Вычтем эту тройку из 75. Тогда получаем, что 7210 в этих системах заканчивается нулём, то есть 7210 делится на основания этих систем, следовательно, решение надо искать среди делителей числа 72.
Делителями числа 72 являются: 2,3,4,6,8,9,12,18,24,36 и 72. Сразу отбрасываем 2 и 3, т.к. в этих системах нет цифры 3. Остаются числа 4,6,8,9,12,18,24,36 и 72.
Максимальная система счисления получается тогда, когда 7510=13х
1*х+3=75 х=72.
Это первое решение, в остальных случаях запись числа 75 будет уже не двузначным числом
(113, 213. 313 и т. д.).

Для трёхзначного числа имеем: А*х2+1*х+3=75 ⇒ А*х2+ х=72
Из уравнения видно, что x не может быть больше 8, иначе левая часть станет больше правой. Значит остальные решения надо искать среди чисел 4,6,8.
Число А должно быть целым, подставляя последовательно в это уравнение числа 4,6,8, видим, что решением будет только число 8, в остальных случаях А получается дробным.
Итого имеем 2 решения 8,72.
Ответ: 8,72

Решение уравнений в различных системах счисления.
Ре­ши­те урав­не­ние:
101N+1 = 101N + 158
Ответ за­пи­ши­те в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.
Решение.
Переводим все числа в десятичную СС:
101N+1 = (1*(N+1)2 + 0*(N+1)1 +1*(N+1)0 )10 =((N+1)2 +1)10
101N = (N2 +1)10 ; 158 = 1310
Записываем уравнение в десятичной СС:
(N+1)2 +1 = (N2 +1) +13
N2 + 2N + 1 + 1= N2 +14
2N = 12; N=6
Ответ: 6

№1. Ре­ши­те урав­не­ние:
101N+1 = 101N + 1116
Ответ за­пи­ши­те в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.
№2. Ре­ши­те урав­не­ние:
161N = 134N+1.
Ответ за­пи­ши­те в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.
№3. Ре­ши­те урав­не­ние:
44Х+5 – 445 = 5210
Ответ за­пи­ши­те в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.
Самостоятельно