Системы счисления. Введение

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральных чисел.

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:
0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит…

Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Римская:
I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони), L – 50,
C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

Примеры:
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная система: первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
3 7 8
2 1 0
разряды
8
70
300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Подготовка к ЕГЭ

Перевод чисел из одной системы счисления в другую (десятичную)
10101101.1012 = 1*27+ 0*26+ 1*25+ 0*24+ 1*23+
+1*22+ 0*21+ 1*20+ 1*2-1+ 0*2-2+
+1*2-3 = 173.62510
703.048 = 7*82+ 0*81+ 3*80 +0*8-1+4*82 = 451.062510
B2E.416 = 11*162+ 2*161+ 14*160+4*16-1 = 2862.2510

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую

Перевести 18110 в "8" с.с.
Результат: 18110 = 2658

Перевести 62210 в "16" с.с.
Результат: 62210 = 26E16

Перевести 0.312510 "8" с.с.
Результат: 0.312510 = 0.248
Перевод дробей из десятичной системы счисления в другую

Перевести 0.6510 "2" с.с. Точность 6 знаков
Результат: 0.6510 0.10(1001)2

Перевести 23.12510 "2" с.с
2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012
Результат: 23.12510 = 10111.0012

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму
достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб.) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб.), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах

Перевести 305.48 "2" с.с.
Перевести 7B2.E16 "2" с.с.

Перевести 1101111001.11012 "8" с.с.
Перевести 11111111011.1001112 "16" с.с

Перевести 175.248 "16" с.с
Результат: 175.248 = 7D.516

Двоичная арифметика

Упражнения
1. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления:
а) 1101112; б) 10110111.10112; в) 563.448; г) 721.358; д) 1C4.A16; е) 9A2F.B52.
2. Перевести следующие числа из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с.:
а) 463; б) 1209; в) 362; г) 3925; д) 11355.
3. Перевести следующие числа из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с. (точность вычислений - 5 знаков после точки):
а) 0.0625; б) 0.345; в) 0.225; г) 0.725; д) 217.375; е) 31.2375; ж) 725.03125; з) 8846.04.

4. Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:
а) 1725.3268; б) 341.348; в) 7BF.52A16; г) 3D2.C16.
5. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:
а) 11011001.010112 "8" с.с.;
б) 1011110.11012 "8" с.с.;
в) 1101111101.01011012 "16" с.с.;
г) 110101000.1001012 "16" с.с.
6. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:
а) 312.78 "16" с.с.; б) 51.438 "16" с.с.;
в) 5B.F16 "8" с.с.; г) D4.1916 "8" с.с.