Алгебраические действия над комплексными числами

"Комплексное число –
это тонкое и поразительное средство божественного духа,
почти амфибия между бытием и небытием".
Г. Лейбниц

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14.11.1716) – немецкий математик, физик и философ.

Многовековая история развития представления человека о числах –
одна и самых ярких сторон развития человеческой культуры.

Дроби появились очень рано – уже у египтян и вавилонян – в связи с переходом к более мелким единицам измерения. Их связь с делением натуральных чисел понималась более смутно и вторично.

Греки осознавали числа через процесс геометрического измерения: именно так они себе уяснили существование иррациональных чисел.

Отрицательные числа появились в 5-6 веках в индийской и арабской математике. Отрицательные числа рассматривали как «воображаемые» , ненастоящие числа.

История возникновения комплексных чисел
Первое упоминание в истории комплексных чисел , можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объём пирамиды, столкнулся с тем, что должен был вычислить квадратный корень из разности
81-144.

История возникновения комплексных чисел
«Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году , когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел

История возникновения комплексных чисел

История возникновения комплексных чисел
Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году.

Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Пример. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).

При выполнении умножения можно использовать формулу:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2,
Пример. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2; б) (3 – 5i)2.
Решение.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2⋅2⋅3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 =
= – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 2⋅3⋅5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 =
= – 16 – 30i;
так как i2 = – 1.

Рассмотрим применение формулы:
(a + b) (a - b) = a2 - b2 (*)
Пример. Выполнить действия:
(5 + 3i)(5 – 3i);
(1 + i)(1 – i).
Решение.
a) (5 + 3i)(5 – 3i)=52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25+9=34;
b) (1 + i)(1 – i)=12 – i2 =1 + 1=2.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.
Пример. Выполнить деление:
Решение. Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
Итак,

Домашнее задание
Выполнить алгебраические действия над комплексными числами:
1) (3+5i) + (7 – 3i)
2) (5 – 4i) – (8 + 2i)
3) (6 + 8i)(2 – 3i)
4) (2 – 3i)2
5)

«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных , иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью».
Симон Стевин

Симон Стевин (1548-1620) – нидерландский математик и инженер. Преподавал в Лейденском университете, служил инженером в армии принца Оранского. Как инженер Стевин сделал значительный вклад в механику. Важнейшие из его работ в области математики: «Десятина» (1585 г.) и «Математические комментарии», в 5-ти томах (1605-1608 гг.)