Ряды динамики

Ряды динамики (временные ряды) применяются для изучения изменения явлений во времени. Ряд динамики представляет собой ряд числовых значений определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени

РЯД ДИНАМИКИ
последовательность изменяющихся во времени значений статистического показателя , расположенного в хронологическом порядке

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (годы , кварталы , сутки) или моменты (даты) времени. Уровни ряда обычно обозначаются через «y» , моменты или периоды времени , к которым относятся уровни – через «t»

Пример
Здесь t – время;
yi – производство продукции, тыс. шт.

В зависимости от способа выражения уровней ряда ряды динамики делятся на ряды :

В зависимости от того , как выражают уровни ряда (на начало месяца или за период),выделяют моментные и интервальные ряды динамики
В зависимости от расстояния между уровнями ряды динамики бывают с равностоящими и неравностоящими уровнями во времени
В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные

Ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментным называется ряд, абсолютные уровни которого характеризуют величину явления по состоянию на определенные моменты времени или даты. (Например, численность населения, уровни товарных остатков)

Интервальным называется такой ряд, абсолютные уровни которого представляют собой итоговые величины за некоторые интервалы времени (например, производство продукции за месяц; число родившихся за месяц, год).
Особенностью интервальных рядов является то, что их уровни можно дробить и складывать

Выделяют также производные ряды динамики, которые состоят из средних или относительных величин. Они рассчитываются на основе моментных или интервальных рядов. (Например, среднегодовая численность населения)

Основные показатели, применяемые для анализа рядов динамики

Анализ скорости и интенсивности явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей , которые получаются в результате сравнения уровней между собой . Сравниваемый уровень называют отчётным , а уровень , с которым происходит сравнение – базисным

Различают показатели изменения уровней ряда и средние характеристики рядов динамики

Средние величины
Ряды динамики
Абсолютные величины
Относительные величины
Интервальныеи Моментные
Интервальные

К показателям изменения уровней ряда относятся абсолютный прирост, коэффициент роста и прироста, темп роста и прироста, абсолютное значение 1% прироста (роста)

1.Абсолютные приросты бывают цепными и базисными. Абсолютный прирост показывает, на сколько изменился изучаемый показатель по сравнению с предыдущим или базисным периодом времени

Базисный абсолютный прирост:
где - базисный уровень ряда

Цепной абсолютный прирост:
где - текущий уровень ряда;
- предыдущий уровень ряда

2. Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился изучаемый показатель по сравнению с предыдущим периодом времени или с базисным периодом времени. Соответственно коэффициент роста может быть цепным и базисным

Цепной коэффициент роста:

Базисный коэффициент роста:

3.Темпы роста – это коэффициенты роста, выраженные в процентах (они также могут быть цепными, базисными и средними):
Tр= Kp • 100 (%)

Темп роста:
а) базисный:
б) цепной :

4.Темп прироста используется для выражения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах:

Темп прироста показывает, на сколько процентов изменился изучаемый показатель по сравнению с предыдущим периодом времени или с базисным периодом времени.
Цепной темп прироста:

Базисный темп прироста

5.Абсолютное значение одного процента прироста А% показывает, сколько абсолютных единиц содержится в 1% прироста

Содержание одного процента базисного прироста:

Содержание одного процента цепного прироста:

Расчет среднего уровня ряда динамики

СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДА
Средний уровень ряда динамики рассчитывается по формулам средней арифметической или средней хронологической

1.Если ряд динамики является интервальным, то расчет среднего уровня ведется по формуле простой средней арифметической:

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ РЯДА
ДЛЯ ИНТЕРВАЛЬНЫХ РЯДОВ
С РАВНЫМИ ИНТЕРВАЛАМИ ВРЕМЕНИ
Простая средняя арифметическая
=
где n - количество периодов времени

Пример. Имеются следующие данные о динамике производства продукции предприятием за 2006-2010 гг., тыс. шт.
Определить среднегодовое производство продукции за 2006-2010 гг.
тыс. шт.

2. Если ряд динамики является моментным с различными интервалами времени между датами, то для расчета среднего уровня используется средняя арифметическая взвешенная:
где – продолжительность i-го интервала времени (интервал времени между двумя соседними значениями;
- средний уровень ряда для i-го интервала времени

Пример. Известна списочная численность персонала организации по состоянию на следующие даты (человек) :
Среднесписочная численность персонала за год составляет:
чел.

С неравными интервалами времени
Эта формула иногда дается как взвешенная средняя хронологическая
=
где ti – период времени между двумя соседними значениями

3.Если ряд динамики является моментным с равноотстоящими уровнями, то используется средняя хронологическая простая:
где n-количество дат

Пример. Известны товарные остатки магазина на 1-е число каждого месяца (тыс. руб.) :
Средний уровень товарных остатков за первый квартал составил:
тыс. руб.

Средний абсолютный прирост определяется как простая средняя арифметическая величина из цепных абсолютных приростов и показывает , на сколько в среднем изменялся показатель в течение изучаемого периода времени

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько в среднем изменялся изучаемый показатель при переходе от предыдущего периода времени к смежному последующему периоду времени
где n – число уровней ряда динамики;
S = n - 1 – количество цепных приростов

Среднегодовой коэффициент роста определяется как средняя геометрическая из цепных коэффициентов роста и показывает , сколько в среднем составлял рост показателя

Если цепные коэффициенты роста определялись для рядов с равностоящими интервалами, то применяется простая средняя геометрическая величина

Средний коэффициент роста рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

С неравными интервалами времени
Взвешенная средняя геометрическая
=
где ki – коэффицент роста; ti – период времени между двумя соседними значениями

Среднегодовой темп роста определяется умножением среднегодового коэффициента роста на 100 и показывает , сколько процентов в среднем составлял рост показателя

СРЕДНИЙ ТЕМП ПРИРОСТА
Показывает, на сколько процентов увеличивается (или уменьшается) уровень по сравнению с предыдущем в среднем за единицу времени:

Проблема сопоставимости уровней рядов динамики
Смыкание рядов динамики

Поскольку ряды динамики формируются на протяжении длительных периодов времени, их уровни часто оказываются несопоставимыми

Причины
Изменение цен
Изменение методики расчета показателей
Изменение «границ» (организа- ционных, административных)

Для обеспечения сопоставимости данных часто применяется метод смыкания рядов динамики. Для смыкания ряда динамики необходимо иметь переходное звено. (Переходное звено – это период времени, для которого изучаемый показатель рассчитан как по старой методике (в старых границах), так и по новой методике (в новых границах).
Для переходного звена рассчитывается коэффициент, действие которого распространяется на все предшествующие периоды времени

Анализ основной тенденции рядов динамики

Уровни рядов динамики формируются под воздействием большого числа факторов. Их можно разделить на 3 группы

1. Определяющие факторы – факторы, которые оказывают постоянное и сильное воздействие на изучаемый показатель. Они определяют основную тенденцию (тренд) ряда динамики

2. Сезонные факторы – факторы, которые вызывают сезонные колебания относительно основной тенденции

3. Случайные факторы – факторы, которые вызывают случайные колебания уровней ряда (например, погодный фактор)

Метод укрупнения интервалов

Метод укрупнения интервалов – замена исходных уровней ряда средними величинами, которые рассчитываются для укрупненных интервалов

Метод скользящей
средней

Метод скользящей
средней– замена исходных уровней ряда средними величинами, которые рассчитываются для последовательно смещающихся интервалов времени

19,3
20,5
22,2
23
23,6
23,6

Аналитическое выравнивание рядов динамики

Уровни ряда рассматриваются как некоторая функция от времени:

Процедура выравнивания в этом случае сводится:
⮚ к выбору вида функции;
⮚ к определению параметров функции;
⮚ к получению выравненных значений уровней ряда на основе функции

Рассмотрим данный метод на примере линейного уравнения (тренда):
где a и b – параметры;
t – время

Линейный тренд лучше всего использовать в тех случаях, когда предварительный анализ показывает, что уровни ряда изменяются с примерно одинаковой скоростью, т.е. когда цепные абсолютные приросты примерно равны между собой

Параметры a и b определяются при помощи метода наименьших квадратов (МНК)

Применение метода МНК дает следующую систему уравнений для определения параметров:

Данную систему уравнений можно существенно упростить, если пронумеровать время таким образом, чтобы

Если ряд содержит нечетное число уровней, то центральный уровень ряда нумеруется нулем. Уровни в сторону убывания времени нумеруются -1; -2; -3…, в сторону возрастания времени 1; 2; 3…

Если ряд содержит четное число уровней, то ближайшие к центру уровни ряда нумеруются: -1 и 1, далее нумерация как для ряда с нечетным числом уровней только с шагом 2: …-5; -3; -1; +1; +3; +5…

Выравнивание по параболе второго порядка:
где b – скорость изменения уровней ряда динамики
c – ускорение

Выравнивание по параболе второго порядка производится, когда предварительный анализ показывает, что вторые разности примерно равны между собой
- первая разность;
- вторая разность

Для определения параметров применяется метод наименьших квадратов:

Выравнивание по гиперболе применяется в тех случаях, когда в развитии ряда динамики происходит насыщение

Для определения параметров используется МНК:

Выравнивание ряда динамики при помощи показательных функций или экспоненты применяется, когда предварительный анализ показывает: уровень ряда динамики меняется с приблизительно одинаковыми цепными коэффициентами роста. При этом коэффициент b интерпретируется как средний коэффициент роста

Для определения параметров функция приводится предварительно к линейному виду при помощи логарифмирования левой и правой частей уравнения
При этом мы находим не a и b,
а lga и lgb