Алгоритм исследования функции одного аргумента

Область определения функции, периодичность, чётность.

Условия монотонности и экстремумы функции
интервалы монотонности функции (интервалы знакопостоянства первой производной
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f′(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то точке х = х1 функция имеет минимум.

Ymin(2)=3.
Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2,+∞), убывает на интервале (0,2).

Пример. Исследуем на экстремум функцию
Р Е Ш Н И Е
Так как х=0 не принадлежит области определения функции, поэтому точек перегиба нет
Кривая всюду вогнута.

Точки перегиба.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
В точке перегиба касательная пересекает кривую.
Пусть кривая определяется уравнением y = f(x).
Если вторая производная f′′(a) = 0 или f′′(a)
не существует и при переходе через точку
х = а функция f′′(x) меняет знак,
то точка кривой с абсциссой х = а
является точкой перегиба графика функции.
y
x
о
а
Никакой достоверности нет в том, что не имеет связи с математикой Леонардо да Винчи Невозможно управлять тем, что нельзя измерить Эдвард Дёминг

Асимптоты.
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки x кривой y= f(x) до этой прямой при удалении точки x в бесконечность стремится к нулю.
Точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат может неограниченно приближаться к своей асимптоте
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту
Кривая, неограниченно приближаясь
к своей асимптоте, может и пересекать
её, причем не в одной точке, как
показано на приведенном ниже
графике функции
Её асимптотой является прямая
у = х.

Вертикальные асимптоты
Если
или
или
то прямая х = а является асимптотой кривой
y = f(x).
Задача.
Найти уравнения вертикальных асимптот функции
Данная функция существует всюду, кроме точки Х=0, т.е. на интервалах (-∞, 0) (0,+∞). Точка Х=0 является точкой разрыва второго рода, так как
,