Числовые функции и графики

Числовые
Функции
и графики

немного из истории
А знаете ли вы...

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение). Лейбниц употреблял это слово с 1673 г.
Как термин «функция от x» стало употребляться впервые в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
Дании́л Берну́лли

Один из самых замечательных математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя понятие функции, говорил, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».
В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.
леонард эйлер
Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)

«Когда математика стала изучать
переменные величины и функции,
как только она научилась
описывать процессы, движение, так она стала необходима всем».
Ф.Энгельс

Функции вокруг нас

Первый в жизни график

Кардиограмма – график работы сердца
Функции вокруг нас

«Великий и могучий русский язык…»
И сокол выше солнца не летает
Бездонную бочку водой не наполнишь
Близок локоть, да не укусишь
В поле ветра не поймаешь
Поперек себя не перепрыгнешь
Поперек батьки в пекло не суйся
Пословицы и поговорки с точки зрения функциональной зависимости

«Великий и могучий русский язык…»
Кто много знает, с того много и спрашивается
Каков строитель, такова и обитель
К чему ребенка приучишь, то от него и получишь
Кто много читает, тот много знает
Как аукнется, так и откликнется
Аппетит приходит во время еды
С плохими косцами плох и укос
Меньше говори, больше делай
Работает – как ребенок, а ест – как детина
В умной беседе ума набраться, а в глупой свой растерять
Худой мир лучше доброй войны
Тише едешь – дальше будешь
Не все то золото, что блестит
Прямая зависимость
Обратная зависимость

Алгебраическая разминка

Сегодня здесь затеи и задачи,
Смех и шутки не для нас!
Пожелаем всем удачи –
За работу, в добрый час!

У=f (X)
Определение функции

МНОЖЕСТВО Х: ВСЕ ЖИЛЬЦЫ
МНОЖЕСТВО Y: НОМЕРА КВАРТИР
Правило соответствия (зависимости) между множествами :
«Каждому жильцу дома будет соответствовать номер его квартиры».

Смирнов
Петров
Правило соответствия (зависимости) между множествами :
«Каждому жильцу дома будет соответствовать номер его квартиры».
Петрова

Петров
Смирнов
Соответствие (зависимость)
Соответствие (зависимость)

Определение функции
f(x)
y = f(x)

Что такое функция?
Функциональная зависимость, или функция, - это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Существует несколько способов задания функции:
1.С помощью таблицы.
2.Графический.
3.С помощью формулы.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Какие из данных графиков являются
графиками каких-либо функций?

Область определения функции
Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (х) D(х)
Все действительные числа
Все действительные числа
Х+1≠0 ⇒ Х≠-1

Множество значений функции
Множеством значений функции называют множество всех значений которые может принимать переменная у Е(у)
Все действительные числа
у≥0
у≠0
у≥0

УКАЖИТЕ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.

Функция – зависимость одной переменной от другой, причем для любых значений х соответствует единственное значение функции
Х – независимая (аргумент)
У – зависимая (значение функции)
D(y) – область определения
Е(у) – область значения
График функции – множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты соответствующим значениям функции

Найдите область определения и значений функции
5
( -1;5]
-3
4
[ -3;4)
а)
б)
в)
г)
д)

Промежутки, в которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства
У>0 при X∈ (-3; 7);
У<0 при X ∈ (-5;-3) ∪ (7;9)
У=0 при X=-3 и X=7

Возрастающая функция.
х1
х2
у1
у2
Х2>Х1 , то У2>У1.

Убывающая функция.
х1
х2
у1
у2
Х2>Х1 , то У2<У1.

Провести исследование функции

Способы задания функции:
4. Словесный
2. Табличный
3. Графический
1. Формулой (аналитический)
у=2х+3

Виды функций
Линейная
Прямая пропорциональность
Обратная пропорциональность
Квадратичная
Кубическая
Квадратный корень
Модуль
Преобразование графиков

Линейные функции.
y = ах + b

Линейная функция
у = kх + b график – прямая
0
У=2х+1
у = 2х +1

если k > 0, то угол наклона прямой у = kx + b к оси x острый
если k < 0, то угол наклона прямой у = kx + b к оси x тупой

Выберите линейную функцию, график которой изображен на рисунке
у = х - 2
у = х + 2
у = 2 – х
у = х – 1
у = - х + 1
у = - х - 1
у = 0,5х
у = х +2
у = 2х
Молодец!
Подумай!

y=-0,5x+2, y=-0,5x, y=-0,5x-2
x
y
1
2
0
1
2
3
-1
-2
-1
-2
3
4
5
6
-3
x
y
1
2
0
2
3
-1
-2
-1
-2
3
4
5
6
-3
1
y=0,5x+2 y=0,5x-2 y=0,5x
y=-0,5x+2 y=-0,5x
y=-0,5x-2

Еще раз повторим:
*Функция вида у = kx + b называется линейной.
*Графиком функции вида у = kx + b является прямая.
*Для построения прямой необходимы только две точки, так как через две точки проходит единственная прямая.
*Коэффициент k показывает возрастает или убывает прямая.
*Коэффициент b показывает, в какой точке прямая пересекает ось OY.
*Условие параллельности двух прямых.

Функции прямой пропорциональности.
у = kx

Прямая пропорциональность
у = kх график – прямая, проходящая
через (0;0)
У=3х
у = 3х

Найдите соответствия:
Какой график
является графиком
функции прямой
пропорциональности?

Функции обратной пропорциональности
у = k/x
И все!

Обратная пропорциональность

Найдите соответствия:
1.
3.
2.
4.

у = а
y = kx
y = kx + m
y = x2
y = 1/x
Прямая, параллельная
оси Ох
Парабола
Гипербола
Прямая, проходящая через
начало координат
Прямая
Выберите описание каждой
математической модели.

Квадратный корень
у = х график – ветвь параболы
в первой четверти

Модуль

Ответ:

Решите самостоятельно:
Ответ:

. Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ: А) y = -3x; Б) y = 3x; В) y = -1/3x
1
2
3

На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) k>0, b<0; 2) k<0, b<0; 3) k>0, b>0
2
3
1