Перестановки и факториал

I. Факториал
Факториал числа n (n!) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно
Если n=0 то n!=1
Если n>0 то n!=1⋅2⋅3⋅ …⋅ n
#:
2! =
3! =
4! =
5! =
1⋅2 = 2
1⋅2⋅3 = 6
1⋅2⋅3⋅ 4 = 24
1⋅2⋅3⋅ 4⋅ 5 = 120
1800 г. – Л. Арбогаст (1759 - 1803) ввёл термин факториал
1808 г. - К. Крамп (1760 — 1826) придумал обозначение n!
Рекуррентная формула:

Таблица факториалов
16! = 20922789888000
17! = 355687428096000
18! = 6402373705728000
19! = 121645100408832000
20! = 2432902008176640000
21! = 51090942171709440000
22! = 1124000727777607680000
23! = 25852016738884976640000
24! = 620448401733239439360000
25! = 15511210043330985984000000
26! = 403291461126605635584000000
27! = 10888869450418352160768000000
28! = 304888344611713860501504000000
29! = 8841761993739701954543616000000
30! = 265252859812191058636308480000000
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600
13! = 6227020800
14! = 87178291200
15! = 1307674368000
100! ≈ 9,33×10157
1000! ≈ 4,02×102567
10000! ≈ 2,85×1035 659

II. Решение задач
#1. Вычислить:
#2.
#3. Делится ли 11! на 49?
Ответ: нет

#4. Сколькими нулями оканчивается число 26!
Ответ: 6
#5. Сократить дробь

#6. Упростить выражение

#7. Решить уравнение

III. Перестановки
Перестановки из n элементов
- это комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.
Pn – обозначение
#1. Найдите все возможные перестановки цифр: 1, 2, 3.
1
2
3
2
1
3
3
1
2
1
3
2
2
3
1
3
2
1
Формула нахождение количества перестановок:
Pn = n!
P3 = 3! = 6

IV. Решение задач
«Проказница-Мартышка, Осел, Козел
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Достали нот, баса, альта, две скрипки
И сели на лужок под липки,-
Пленять своим искусством свет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
"Стой, братцы, стой! - кричит Мартышка. -
Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
*** *** *** *** ***
Послушались Осла: уселись чинно в ряд;
А все-таки Квартет нейдет на лад.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…»
Задача №1.
Сколькими различными способами могут сесть музыканты?
Решение:
n=4
P4 = 4! =24
Ответ: 24

Сколькими способами можно развесить 5
цветных шаров на гирлянде?
Решение:
Р5 = 5! = 1·2·3·4·5= 120
Ответ: 24
Задача 2.

Задача №3. В расписании 9 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
P6 = 6! = 720
Задача №4. Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним?
P5=5!= 120
Задача №5.
Сколькими способами из тех же 6 предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом?
P5= 5!*2 = 240 (1. РЛ 2. ЛР)

Задача 6.
Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8?
P5 = 5! = 120
Задача 7.
Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?
P7 = 7! = 5040
5040 * 2 = 10080

V. Обобщения факториала
1. Двойной факториал числа n
- обозначается n!!
- произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n.
Для чётного n:
n!! = 2 · 4 · 6 · … · n
Для нечётного n:
n!! = 1 · 3 · 5 · … · n
#: Вычислить:
10!! =
9!! =
0!! =
2 · 4 · 6 · 8 · 10 = 3840
1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945
1
!!

2. Праймориал (примориал) числа n
- обозначается n#
- произведение простых чисел, не превышающих n.
11# =
12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310
#: Вычислить:
7# =
5# =
3# =
2# =
8# = 9# = 10# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
6# = 2 · 3 · 5 = 30
4# = 2 · 3 = 6
= 2
#