Этапы создания математических моделей

СОДЕРЖАНИЕ:
Понятие
Этапы
Постановка проблемы и ее качественный анализ.
Построение математической модели.
Математический анализ модели.
Подготовка исходной информации.
Численное решение.
Анализ численных результатов и их применение.

ПОНЯТИЕ.
Математическая модель системы – это совокупность соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических соотношений), определяющих характеристики состояний системы в зависимости от ее внутренних параметров, начальных условий, входных сигналов, случайных факторов и времени.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ И ЕЕ КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ.
выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных;
изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы;
формирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.
Это – этап формализации проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ.
Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

ПОДГОТОВКА ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ.
Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ.
Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Здесь приобретают актуальности различные методы обработки данных, решения разнообразных уравнений, вычисления интегралов и т.п. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при различных изменениях некоторых условий.

АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.
На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, об адекватности модели, о степени ее практической применимости. Математические методы проверки результатов могут выявлять некорректности построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей.
Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают:
снимают и объединяют условия, уменьшают число учитываемых факторов.
нелинейные соотношения заменяют линейными и т.д.