Функция. Предел функции. (часть 1)

План вебинара
Разбор ДЗ – ключевые моменты.
Функция и отображения.
Вычисление пределов:
+ рациональных функций;
+ пределы, сводящиеся к 1-му замечательному пределу (часть 1).

Задача 2 (1)
Исходное (ложь; sgn(0)=0):
Отрицание (истина):

(2)
Исходное (-; теорема Ферма):
Отрицание (+):

(3)
Исходное (+):
Отрицание:

(4)
Исходное(-):
Отрицание(+):

(5)
Исходное (sin(pi/2)=1 - максимальное значение синуса; ложь):
Отрицание (+):

(5)

(6)
Исходное (+):
Отрицание:
Принадлежность множеству не меняется.
ε в обоих случаях положительно.

(7)
Исходное (+):
Отрицание:

Множества, №1

Формула Стирлинга
(к следующему дз)

ГРАФИК – для иллюстрации
Число е: https://ru.wikipedia.org/wiki/E_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)

Полезные формулы
(напоминание)
x1, x2 – корни уравнения ax 2 + bx+ c = 0
Формулы сокращённого умножения:
ax 2 + bx+ c = a ( x – x1 ) ( x – x2 )

Функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Виды отображений: сюрьекция
Отображение называется сюръекцией, если каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X.

Виды отображений: инъекция
Отображение называется инъекцией, если разные элементы множества Х переводятся в разные элементы множества Y

Виды отображений: биекция
Биекция – это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным
сюрьекция+инъекция

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
Область определения — множество, на котором задаётся функция.
Область значения — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.
Нули функции: f(x)=0
кратность нулей: (x-1)**2 (x-3) = 0
x=1 - корень кратности 2
x=3 - корень кратности 1

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
4) Отрезки знакопостоянства: f(x)>0; f(x)<0.
5) Чётность функции:
f(-x) = f(x) – чётная функция, симметрия относительно оси y (y=x**2);
f(-x) = -f(x) – нечётная функция, симметрия относительно начала координат (y=x**3);
Иначе – функция общего вида.

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
6) Ограниченность функции: есть ли максимальное и минимальное значения функции на множестве.
(https://foxford.ru/wiki/matematika/ogranichennye-funktsii)
7) Периодичность функции: f(x+T)=F(x)
8*) Монотонность функции (нужны производные или график)

Нахождение предела функции: начало
Подставляем в функцию значение, к которому стремится «икс»;
Устанавливаем вид неопределённости.

Разделить на «икс в старшей степени»

Разделить на «икс в старшей степени»

Разложить на множители

Разложить на множители
ax^2+bx+c=0
x1, x2 – корни,
Тогда ax^2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)

Разделить на «икс в старшей степени»

Разложить на множители
ax 2 + bx+ c = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Поделить столбиком

Умножить на сопряжённый множитель

Эквивалентности в пределах

Продолжение следует…