Матрицы и определители

Определение матрицы. Виды матриц
Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов

Каждый элемент матрицы имеет два индекса: m – номер строки и n – номер столбца. Например, в матрице
размера , , , .
Часто используется краткая запись матрицы:
Элементы матрицы

Матрица называется квадратной n-го порядка, если она состоит из n строк и n столбцов.
Матрица размера 1×n называется матрицей-строкой, а матрица размера m×1 матрицей-столбцом.
Нулевой матрицей 0 заданного размера называется матрица, все элементы которой равны 0.
Основные определения

Единичной называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные элементы равны 0:
Определение единичной матрицы

Транспонированной матрицей для матрицы A называется матрица AT, строки которой являются столбцами матрицы , а столбцы – строками . Например, если
, то
Матрицы и называются равными, если , , .
Определение транспонированной
матрицы

Линейные операции над матрицами
Суммой матриц и называется матрица .
Складываются матрицы только одинакового размера.

Например.
Найти сумму и разность матриц А и В:

Произведением матрицы А на число λ называется матрица .
Другими словами, для умножения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Любую матрицу можно умножить на любое число.
Произведение матрицы на число

Например:
Умножая матрицу
на число 2, получим:

Для любых матриц одинакового размера и любых чисел выполняются следующие свойства:
1
2
3
4
5
6

Умножение матриц
Произведением матрицы на матрицу называется матрица C размера с элементами , , .
Другими словами, для получения элемента, стоящего в i-той строке матрицы-произведения на k-том месте, следует вычислить сумму произведений элементов i-той строки матрицы A на k-тый столбец матрицы B.

В самом определении произведения матриц заложено, что число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй.
Это условие согласования матриц при умножении.
Если оно нарушено, то матрицы перемножить нельзя.
Заметим, что вполне возможна ситуация, когда A∙B существует, а B∙A нет.
Замечание к определению

Ряд свойств операции умножения матриц
Если A, B и C - квадратные матрицы одного порядка, то справедливы равенства:
1.
2.
3.
4.

Например,
Найти произведение матриц:
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует:

Определители второго и третьего порядков. Их свойства
Понятие определителя вводится только для квадратных матриц. Рассмотрим квадратную матрицу 2го порядка:
Определителем 2го порядка матрицы называется число:

Пусть – матрица 3го порядка.
Минором элемента называется определитель , составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы i -той строки и k-того столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется число
.
Основные определения определителей

Определителем 3го порядка (матрицы ) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения.

Примеры вычисления определителей

Схемы вычисления определителей

Свойства определителей:
Определитель не меняется при транспонировании.
Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен 0.
Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель меняет знак.
Если элементы какой-либо строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.

Справедливо равенство
Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на свои алгебраические дополнения равна самому определителю.
Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0.

Числовые примеры свойств 1 и 2:

Числовые примеры свойства 3:

Числовые примеры свойств 4 и 5:

Числовые примеры свойства 6:

Числовые примеры свойства 7:

Числовые примеры свойства 8:

Числовые примеры свойства 9 :

Обратная матрица
Матрица называется обратной к квадратной матрице A, если
Матрица называется вырожденной, если ; в противном случае A – невырожденная матрица.
Теорема. Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. .

Пример:
Найти обратную матрицу для
Имеем:
Таким образом:

Тогда
Вычисляя определитель матрицы A, получаем |A|=29.
Теперь по формуле:

Теорема
Если A и B невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка, то

Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу A размера m×n :
Выберем в матрице A произвольно k строк и k столбцов
Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют матрицу порядка k . Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка.
Если все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры более высокого порядка.
Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы (rangA или r(A)).

Метод вычисления ранга матрицы
При вычислении ранга матрицы нужно переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков;
Если уже найден минор k-го порядка d отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры k+1-го порядка, окаймляющие минор d. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Теорема о ранге матрицы
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов) (rangA или r(A)).

Свойства ранга матрицы
Если матрица A имеет размеры m×n, то
тогда и только тогда, когда все элементы матрицы A равны нулю;
если матрица A - квадратная матрица порядка n, то rangA=n тогда и только тогда, когда определитель матрицы .

Элементарные преобразования матрицы
Отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы
Умножение всех элементов строки(столбца) матрицы на число , неравное нулю.
Изменение порядка строк(столбцов)матрицы.
Прибавление к каждому элементу одной строки(столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Транспонирование матрицы.

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:
где
Ранг ступенчатой матрицы равен r.
Замечания к преобразованиям

Домашнее задание

Даны матрицы А и В.
Найти их сумму и разность

Дана матрица А.
Найти 2А (умножить матрицу А на 2)