Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке

Пусть у нас есть график некоторой функции f(x) на промежутке [a; b]. По графику легко найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Иногда наибольшее и наименьшее значения можно отыскать и без построения графика.

Для того, чтобы избежать построения графика функции воспользуемся следующими утверждениями.
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Это утверждение можно проиллюстрировать графиками функций.
Видно, что на первом графике наибольшее и наименьшее значения достигаются во внутренних точках. На втором графике наибольшее значение достигается в конце промежутка, а наименьшее значение достигается во внутренней точке.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции
у = f(x) на отрезке [a; b].

Пример

Надо найти наибольшее и наименьшее значения на незамкнутом интервале
Теорема.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x = x0. Тогда:
а) если x = x0 − точка максимума, то yнаиб = f(x0);
б) если x = x0 − точка минимума, то yнаим = f(x0).

Пример

Пример