Прогрессии. Лекция №2

1. Арифметическая прогрессия
Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.
В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d.
Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:
аn+1 – an = d. Или иначе: an+1 = an + d.
Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.
Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.
Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Формула n–го члена арифметической прогрессии (аn), первый член которой равен а1 и разность равна d:
аn = а1 + d(n – 1).
Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):
Задание 1. В арифметической прогрессии а1 = 2 и d = 3. Найдите а65. (Ответ: 194.)
Задание 2. В арифметической прогрессии а86 = 100 и d = –4. Найдите а1. (Ответ: 440.)
Задание 3. В арифметической прогрессии а1 = 65 и а21 = –55. Найдите d. (Ответ: –6.)
Задание 4. В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Задание 5. Бригада маляров красит забор длиной 935 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 170 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Задание 6. Грузовик перевозит партию щебня массой 224 тонны, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 3 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

2. Геометрическая прогрессия
Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. (Первый член геометрической прогрессии также не может быть равен нулю.)
В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы: bn+1 = bn • q.
Пример 1. Пусть b1 = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.
Пример 2. Пусть b1 = 5 и q = –2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются: 5; –10; 20; –40; 80; –160; 320; … . Это последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Задание 7. В геометрической прогрессии b3 = –1/2, b6 = 4. Найдём b12. (Ответ: 256.)
Задание 8. Найдём сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, a четвёртый равен 24. (Ответ: 255 или 765.)