Некоторые законы распределения случайных величин. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

График нормального закона
Максимальное значение
Точки перегиба

Характеристическая функция гауссовской случайной величины

Пример. При сортировке случайные значения веса зерна распределены нормально со средним значением 0,15 г среднеквадратическим отклонением 0,03 г.Нормальные всходы дают зерна, вес которых более 0,01 г. Определить процент семян, от которых следует ожидать нормальные всходы.

Показательное (экспоненциальное) распределение.

Характеристическая функция
Кумулянтная функция

Равномерное распределение.

Распределение Пуассона
Биномиальный закон распределения

Центральная предельная теорема

Основные понятия математической статистики
Термин статистика происходит от латинского слова «статус»-состояние.
В настоящее время статистика включает в себя следующие разделы:
1. Сбор статистических сведений, характеризующих отдельные составляющие каких-либо массовых совокупностей;
2. Статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе массовых наблюдений.

3. Разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных. Этот раздел составляет основное содержание математической статистики.
На основе полученных статистических данных можно решать следующие задачи:
1. Оценивать значения неизвестной вероятности случайного события.
2. Определить неизвестные функции распределения или моменты случайной величины X.

3. Определение неизвестных параметров распределения.
(Часто исходя из некоторых соображений можно сделать заключение о типе функции распределения интересующей нас СВ. Тогда задача сводится к нахождению неизвестных параметров)
в. Экспоненциальное распределение - λ ?
Примеры.
а. Пуассоновский поток λ - ?
б. Гауссовское распределение a и σ - ?; a - ?, σ – известно; σ- ? a – известно.
4. Оценка зависимости

Требуется выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между X и Y.
Понятие выборки
Определение. Совокупность всех подлежащих изучению результатов всех мыслимых наблюдений, производится над каким-то объектом, называется генеральной совокупностью
Определение. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она хорошо представляет свойства генеральной совокупности

Форма записи выборки

Пример 1. При измерениях частоты пульса в однородных группах обследуемых получены следующие результаты: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 73, 71, 72, 72, 72, 73, 72, 74, 72,74 . Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.
Объем выборки: п = 2 + 4 + 8 + 2 + 4 = 20
Ряды распределения частот и относительных частот

Полигон частот и полигон относительных частот

Пример 2. При измерениях роста в однородных группах обследуемых получены следующие результаты:
178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155, 157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169, 179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.
Составить по этим результатам группированный статистический ряд распределения частот и относительных частот. Построить гистограмму и полигон относительных частот

Исходные данные разобьем на 6 интервалов: [150,156), [156,162), [162,168), [168,174), [174,180), [180,186]

Гистограмма
Полигон относительных частот

Эмпирическая функция распределения
Определение. Характеристики СВ, найденные на основе выборочных данных называются эмпирическими или выборочными

L

Следствие1. (Теорема Бернулли). Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие A с постоянной вероятностью p.
При неограниченном увеличении числа опытов n относительная частота p* появления события A сходится по вероятности к p.

Оценки для неизвестных параметров закона распределения.
Необходимо отметить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченной выборки, будет содержать элементы случайности.
Это приближенное случайное значение мы будем называть оценкой параметра.

Предъявим к оценке ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть доброкачественной:
1. Оценка должна быть состоятельной. Оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки n она сходится по вероятности к оцениваемому параметру

Методы нахождения точечных оценок
Наиболее распространенные методы построении точечных оценок:
метод моментов,
метод максимального правдоподобия
метод максимума апостериорной плотности вероятности оцениваемого параметра и т.д.
Метод моментов

Предложенная оценка является состоятельной

Пример. При измерениях частоты пульса в однородных группах обследуемых получены следующие результаты: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 73, 71, 72, 72, 72, 73, 72, 74, 72,74 . Найти выборочные среднее и дисперсию.

Понятие интервального оценивания параметров. Доверительный интервал.
Нахождение границ доверительного интервала

Критерий согласия Пирсона

f(x) плотность вероятностей гипотетического закона распределения
Группированный статистический ряд
Мера расхождения между гистограммой и f(x)