Кривые как траектории движения точек

Литература
1. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1980.
2. Веров С. Касательные к рулеттам. – Квант, 1975, № 5, с. 22–30.
3. Веров С. Тайны циклоиды. – Квант, 1975, № 8, с. 19–27.
4. Веров С. Брахистохрона, или Еще одна тайна циклоиды. – Квант, 1975, № 12, с. 29–35.
5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. – М.: Мнемозина, 2007.
6. Сайт «Математические этюды»: www.etudes.ru

Учебные пособия по наглядной геометрии для 5, 6 классов издательства «Мнемозина»

6 класс
5 класс

Авторский сайт: vasmirnov.ru

Циклоида
Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки.
Кривая, которую описывает точка, закреплённая на окружности, катящейся по прямой, называется циклоидой, что в переводе с греческого языка означает кругообразная.
Циклоиду, например, описывает точка, закреплённая на ободе колеса велосипеда, катящегося по ровной дороге.

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564–1642). Он же придумал и её название.

Построение циклоиды
Окружность прокатилась по отрезку AB, сделав полный оборот. Точки, A1, …, A8 делят отрезок AB на 8 равных частей. Где будет находится отмеченная точка A, когда окружность, катящаяся по прямой, достигнет точки: а) A4; б) A2; в) A6; г) A1; д) A3; е) A5;
ж) A7? (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг и т.д.)

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим циклоиду.

Упражнение
На клетчатой бумаге отложите отрезок AB величиной 24 клетки. Нарисуйте окружность радиуса 4 клетки. Проведите построение циклоиды.

Свойство 1
Ледяная гора. В 1696 году И.Бернулли поставил задачу
о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки (рис. а), чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А
в конечную точку В за кратчайшее время. Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени.
Среди математиков, решавших эту задачу, были:
Г. Лейбниц, И. Ньютон, Г. Лопиталь и Я. Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевёрнутая циклоида (рис. б).

Свойство 2
Часы с маятником. Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629–1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Искомой кривой оказалась перевёрнутая циклоида (рис. 1, 2). За это свойство циклоиду называют также "таутохрона" – кривая равных времён. Если, например, в форме перевёрнутой циклоиды изготовить желоб (рис. 1) и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды.

Упражнение
Имеет ли циклоида: а) оси симметрии;
б) центр симметрии?
Ответ: а) да;
б) нет.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно 15–20 см, вырезанная из плотного картона, и круг радиуса 2 см, вырезанный из плотного картона, на краю которого вырезан небольшой уголок, в который можно поставить острие карандаша.
Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем круг так, чтобы вырезанный уголок находился на краю полоски. Катим круг по краю полоски и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя плавной кривой отмеченные точки, получаем циклоиду.

Лабораторная работа 2
Для получения циклоиды можно воспользоваться программой GeoGebra. Её рабочее окно показано на рисунке.

1. В панели инструментов выберем «Ползунок». В открывшемся окне зададим изменения ползунка, например, от -1 до 10.

2. В строке «Ввод» наберём: O=(a,1) и нажмём “Enter”. Наберём: A=(a,0) и нажмём “Enter”. Получим соответствующие точки.

3. С помощью инструмента «Окружность по центру и радиусу» построим окружность с центром O и радиусом 1.

4. С помощью инструмента «Поворот вокруг точки» повернём точку A вокруг точки O на угол a радиан по часовой стрелке.

5. С помощью инструмента «Отрезок» соединим точки O и A’ отрезком. Правой кнопкой «мыши» кликнем по точке A’ и выберем строчку «Оставлять след». Уберём лишние обозначения и изменим цвет.

6. Правой кнопкой «мыши» кликнем по ползунку, и выберем строчку «анимировать». Окружность покатится по оси абсцисс,
а закреплённая на ней точка будет описывать циклоиду.

Удлинённая циклоида
Кривая, которую описывает точка, закреплённая на продолжении радиуса окружности, катящейся по прямой, называется удлиненной циклоидой.
На полученном ранее рисунке циклоиды отметьте точку, закреплённую на продолжении радиуса. Отметьте положения этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) B; б) A4;
в) A2; г) A6; д) A1; е) A3; ж) A5; з) A7. Соедините полученные точки плавной кривой.

Укороченная циклоида
Кривая, которую описывает точка, закрепленная на радиусе внутри окружности, катящейся по прямой, называется укороченной циклоидой.
На полученном ранее рисунке циклоиды отметьте точку, закреплённую на радиусе окружности. Отметьте положения этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) B; б) A4;
в) A2; г) A6; д) A1; е) A3; ж) A5; з) A7. Соедините полученные точки плавной кривой.

Лабораторная работа
Для получения удлинённой и укороченной циклоиды можно воспользоваться циклоидой, полученной в программой GeoGebra. Для этого нужно создать ещё один ползунок, изменяющийся, например, от -1 до 1. Изменить точку A, кликнув по ней правой кнопкой «мыши». В открывшемся окне выбрать «Свойства». В разделе «Основные» в качестве координат точки A написать (a,b) и нажать “Enter”. На рисунке показан случай b = -0,5.

Если в качестве значения b взять, например, 0,5, то получим укороченную циклоиду.

Упражнение
На клетчатой бумаге отложите отрезок AB величиной 24 клетки. Нарисуйте «правильный» треугольник со стороной, равной 8 клеток. Отметьте точку в вершине треугольника. Нарисуйте траекторию движения этой точки, когда треугольник катится по прямой.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно 15–20 см, вырезанная из плотного картона, и правильный треугольник со стороной примерно 4 см, вырезанный из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем треугольник на краю полоски. Поворачиваем треугольник и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra.

Упражнение
На клетчатой бумаге отложите отрезок AB величиной 24 клетки. Нарисуйте квадрат со стороной, равной 6 клеток. Отметьте точку в вершине квадрата. Нарисуйте траекторию движения этой точки, когда квадрат катится по прямой.

Лабораторная работа
Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно 15–20 см, вырезанная из плотного картона, и квадрат со стороной
4 см, вырезанный из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем квадрат на краю полоски. Поворачиваем квадрат и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra.

Упражнение 4
На клетчатой бумаге отложите отрезок AB величиной 24 клетки. Нарисуйте «правильный» шестиугольник со стороной, равной 4 клетки. Отметьте точку в вершине шестиугольника. Нарисуйте траекторию движения этой точки, когда шестиугольник катится по прямой.

Лабораторная работа
Для проведения лабораторной работы потребуется полоска прямоугольной формы шириной примерно 3 см и длиной примерно 15–20 см, вырезанная из плотного картона, и правильный шестиугольник со стороной 2 см, вырезанный из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем полоску к листу бумаги. Устанавливаем шестиугольник на краю полоски. Поворачиваем шестиугольник и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra.

Кардиоида
Траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности того же радиуса, называется кардиоидой.
Для изображения кардиоиды разделим окружность на 8 равных частей точками А1, ..., А7. Выясните, где будет находиться отмеченная точка A, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A4; б) A2; в) A6; г) A1; д) A3; е) A5; ж) A7.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим кардиоиду.

Упражнение
На клетчатой бумаге нарисуйте две окружности радиуса 4 клетки. Разделите одну окружность на 8 равных частей. Отметьте точку на другой окружности. Проведите построение кардиоиды.

Упражнение
Имеет ли кардиоида: а) оси симметрии; б) центр симметрии?
Ответ: а) да;
б) нет.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуются два круга одинаковых радиусов примерно по 3 см, вырезанные из плотного картона, на краю одного из которых вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем целый круг
к листу бумаги. Устанавливаем круг
с вырезанным уголком так, чтобы чтобы вырезанный уголок касался закрепленного круга. Катим круг
с вырезанным уголком
по закрепленному кругу и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя отмеченные точки плавной кривой, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения кардиоиды можно воспользоваться программой GeoGebra. Для этого в строке «Ввод» наберём: O = (0,0) и нажмём “Enter”. С помощью инструмента «Окружность по центру и радиусу» создадим окружность с центром O и радиусом 1.
В строке «Ввод» наберём: A = (2,0) и нажмём “Enter”. С помощью инструмента «Окружность по центру и радиусу» создадим окружность с центром A и радиусом 1.
В строке «Ввод» наберём: B = (1,0) и нажмём “Enter”.

Уберём лишние фигуры, изменим цвет. Кликнем правой кнопкой «мыши» по точке B”, и выберем строку «Оставлять след». Кликнем правой кнопкой «мыши» по ползунку и выберем строку «Анимировать». В результате окружность будет катиться по окружности, а закреплённая точка будет описывать кардиоиду.

Удлинённая кардиоида
Траектория движения точки, закреплённой на продолжении радиуса окружности, катящейся по другой окружности того же радиуса, называется удлинённой кардиоидой.
Пусть точка закреплена на продолжении радиуса окружности, находящейся в положении A. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A4; б) A2;
в) A6; г) A1; д) A3; е) A5; ж) A7. Соедините полученные точки плавной кривой.

Укороченная кардиоида
Траектория движения точки, закреплённой на радиусе внутри окружности, катящейся по другой окружности того же радиуса, называется укороченной кардиоидой.
Пусть точка закреплена на радиусе окружности, находящейся в положении A. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A4; б) A2; в) A6; г) A1; д) A3; е) A5;
ж) A7. Соедините полученные точки плавной кривой.

Лабораторная работа
Для получения удлинённой и укороченной кардиоиды можно воспользоваться ранее полученной кардиодой в программе GeoGebra. Для этого создадим ещё один ползунок a, изменяющийся, например, от 1 до 3. Изменим координаты точки B, поставив
(|a-1|,0). В случае 1 < a < 2 получим удлинённую кардиоиду.
В случае 2 < a < 3 получим укороченную кардиоиду.

Упражнение
На клетчатой бумаге нарисуйте два «правильных» треугольника с общей стороной 8 клеток. Отметьте точку в вершине одного из них. Нарисуйте траекторию движения точки, когда один треугольник катится по другому.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуется два правильных треугольника со стороной примерно 4 см, вырезанные из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем целый треугольник к листу бумаги. Устанавливаем треугольник
с вырезанным уголком так, чтобы сторона
с вырезанным уголком треугольника касалась стороны закреплённого треугольника. Поворачиваем треугольник с вырезанным уголком вокруг закреплённого треугольника и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra.

Упражнение
Нарисуйте траекторию движения вершины квадрата, катящегося
с внешней стороны по другому квадрату.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуется два квадрата со стороной примерно 4 см, вырезанные из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем целый квадрат к листу бумаги. Устанавливаем квадрат
с вырезанным уголком так, чтобы сторона с вырезанным уголком касалась стороны закреплённого квадрата. Поворачиваем квадрат с вырезанным уголком вокруг закреплённого квадрата и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra.

Упражнение
Нарисуйте траекторию движения вершины «правильного» шестиугольника, катящегося с внешней стороны по другому «правильному» шестиугольнику.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуется два правильных шестиугольника со стороной примерно 2 см, вырезанные из плотного картона, на одном углу которого вырезан небольшой уголок.
Приклеиваем целый шестиугольник к листу бумаги. Устанавливаем шестиугольник с вырезанным уголком так, чтобы сторона с вырезанным уголком касалась стороны закреплённого шестиугольника. Поворачиваем шестиугольник с вырезанным уголком вокруг закреплённого шестиугольника и отмечаем карандашом положения вырезанного уголка. Соединяя дугами окружностей отмеченные точки, получаем искомую траекторию.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra.

Астроида
Траектория движения точки, закреплённой на окружности, катящейся внутри другой окружности в 4 раза большего радиуса, называется астроидой.
Для изображения астроиды разделим окружность на 8 равных частей точками А1, ..., А7. Отметьте положение этой точки, когда катящаяся окружность достигнет точки: а) A4; б) A2; в) A6; г) A1; д) A3; е) A5; ж) A7. (Для указания положения точки используйте направления: восток, запад, север, юг, северо-восток, северо-запад, юго-восток, юго-запад. Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 4 раза меньше длины большой окружности.)

Упражнение
Имеет ли астроида: а) оси симметрии;
б) центр симметрии?
Ответ: а) да;
б) да.

Лабораторная работа 1
Для проведения лабораторной работы потребуется прямоугольник из плотного картона с вырезанным кругом и маленький круг с вырезанным уголком, в который можно поставить острие карандаша.
Катим маленький круг по краю вырезанного большого круга, и удерживаем карандаш в вырезанном уголке. В результате получим кардиоиду.

Лабораторная работа 2
Для получения траектории можно воспользоваться программой GeoGebra, аналогично тому, как была получена кардиоида.

1. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой на продолжении радиуса окружности, катящейся внутри другой окружности в 4 раза большего радиуса. Она называется удлинённой астроидой.
Упражнения

2. Нарисуйте траекторию движения вершины квадрата
со стороной 1, катящегося с внутренней стороны по другому квадрату со стороной 4.

3. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой на окружности, катящейся внутри другой окружности в 3 раза большего радиуса. Она называется кривой Штейнера.

4. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой на продолжении радиуса окружности, катящейся внутри другой окружности в 3 раза большего радиуса. Она называется удлинённой кривой Штейнера.

5. Нарисуйте траекторию движения точки, закреплённой
на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности, если отношение радиусов равно 1:2.

6. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой на окружности, катящейся по другой окружности, в 3 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности
в 3 раза меньше длины большой окружности.)

7. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой
на окружности, катящейся по другой окружности, в 2,5 раза большего радиуса. (Воспользуйтесь тем, что длина маленькой окружности в 2,5 раза меньше длины большой окружности.)

8. Нарисуйте кривую, которую описывает точка, закреплённая на окружности, катящейся с внешней стороны
по другой окружности, в 1,5 раза большего радиуса.

9. Нарисуйте траекторию движения точки, закреплённой на окружности, катящейся с внешней стороны по другой окружности, если отношение радиусов равно 2:1.

10. Нарисуйте кривую, которую описывает точка, закреплённая на окружности, катящейся с внутренней стороны
по другой окружности в 2,5 раза большего радиуса.

11. Докажите, что траекторией движения точки, закреплённой на окружности, катящейся внутри другой окружности в два раза большего радиуса, является диаметр.

12. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой на большой окружности, катящейся внутренним образом по окружности в два раза меньшего радиуса, изображённой на рисунке.

Ответ.

13. Докажите, что траектория из предыдущей задачи является кардиоидой.

14. Изобразите траекторию движения точки, закреплённой на большом квадрате, катящемся внутренним образом по квадрату
в два раза меньшей стороной, изображённому на рисунке.

Ответ.

12. Изобразите траекторию движения точки C, закреплённой на прямой, катящейся по единичной окружности.

Ответ.

13. Дана прямая c и точка O на расстоянии 2 от этой прямой. Через точку O проводятся прямые, пересекающие прямую c в точках C. От точек C на этих прямых откладываются отрезки CA = CB = 2. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется конхоидой.

Ответ.

14. Изобразите конхоиду для случая, когда точка O удалена от прямой c на расстояние 2 и CA = CB = 4.

Ответ.

15. Дана прямая и точка O на расстоянии OP = 2 от этой прямой. Через точку O проводятся прямые, пересекающие прямую c в точках C. От точек C на этих прямых откладываются отрезки CA = CB = CP. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется строфоидой.

Ответ.

16. Дана прямая и точка O на расстоянии OQ = 4 от этой прямой. С диаметром OQ проведена окружность. Через точку O проводятся прямые, пересекающие окружность в точках B и прямую c в точках C. От точек O на этих прямых откладываются отрезки OA = BC. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется циссоидой.

Ответ.

17. Дана окружность радиусом 2 и точка O, ей принадлежащая. Через точку O проводятся прямые, пересекающие окружность в точках C. От точек С на этих прямых откладываются отрезки СA = CB = 1. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется улиткой Паскаля.

Ответ.