Непрерывность функций

Определение №1
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнены условия:
Непрерывность функций

Определение №1
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнены условия:
Функция определена в точке х0 , т.е. определено число f(x0)
Непрерывность функций

Определение №1
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнены условия:
Функция определена в точке х0 , т.е. определено число f(x0)
Существует конечный предел функции f(x) при х→ х0
Непрерывность функций

Определение №1
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнены условия:
Функция определена в точке х0 , т.е. определено число f(x0)
Существует конечный предел функции f(x) при х→ х0
Этот предел равен значению функции в этой точке:
Непрерывность функций

Определение
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0 справа (слева), если выполнены условия:
Функция определена в точке х0 , т.е. определено число f(x0)
Непрерывность функций

Определение
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0 справа (слева), если выполнены условия:
Функция определена в точке х0 , т.е. определено число f(x0)
Существует конечный предел функции f(x) при х→ х0 справа (слева)
Этот предел равен значению функции в этой точке:
Непрерывность функций

Определение №2
Если существуют конечные левый и правый пределы, равные между собой и равные значению функции в точке х0 , то функция y=f(x) называется непрерывной в этой точке.
Т.е.
Непрерывность функций

Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале (a;b).
Возьмем произвольную точку x0 ϵ (a;b).
Непрерывность функций

Пусть функция у = f(x) определена в некотором интервале (a;b).
Возьмем произвольную точку x0 ϵ (a;b).
Для любого x ϵ (a;b) разность x – x0 называется приращением аргумента х в точке х0 и обозначается Δx.
Т.е. Δx = x – x0. Тогда х = х0 + Δх.
Непрерывность функций

Разность соответствующих значений функции f(x) – f(x0) называется приращением функции f(х) в точке х0 и обозначается Δу. Т.е. Δу = f(x) – f(x0).
Непрерывность функций

Определение №3
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0 , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при х→ х0, т.е.
Непрерывность функций

Теорема
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0 , то их сумма, разность, произведение и частное (при g(x)≠0) непрерывны в этой точке.
Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0 , то их сумма, разность, произведение и частное (при g(x)≠0) непрерывны в этой точке.
Доказательство следует непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема
Если функция g(x) непрерывна в точке х0, а функция f(g) непрерывна в точке g0, причем g0 = g(х0), тогда сложная функция f(g(х)) непрерывна в точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема
Если функция f(x) имеет обратную функцию f -1(у) и непрерывна в точке х0, то функция f -1(у) непрерывна в точке у0, причем у0 =f(х0).
Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема
Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Доказательство:
Пусть f(x) = 7х-3. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = sinx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = sinx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = sinx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = sinx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = еx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = еx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Пусть f(x) = еx. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0.
Свойства функций, непрерывных в точке

Свойства функций, непрерывных в точке

Точки разрыва функции и их классификация

Определение
Точки, в которых нарушается условие непрерывности функции называются точками разрыва этой функции.
Точки разрыва функции и их классификация

Определение
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т. е.
Точки разрыва функции и их классификация

Определение
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т. е.
При этом:
Если А1= А2, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.
Точки разрыва функции и их классификация

Определение
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т. е.
При этом:
Если А1 ≠ А2, точка х0 называется точкой неустранимого разрыва.
Величина |А1 ̶ А2| называется скачком функции.
Точки разрыва функции и их классификация

Определение
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
Точки разрыва функции и их классификация

Исследовать на непрерывность функцию
Пример 1

Исследовать на непрерывность функцию
Найдем односторонние пределы в точке х = 2:
Пример 1

Исследовать на непрерывность функцию
Найдем односторонние пределы в точке х=2:
Пример 1

Исследовать на непрерывность функцию
Найдем односторонние пределы в точке х=2:
Пример 1

Пределы конечны, значит в точке х = 2 - разрыв первого рода.
Т.к. 1≠0 ⇒ х = 2 - точка неустранимого разрыва.
|1 - 0|=1 – скачок функции.
Пример 1

Исследовать на непрерывность функцию
Пример 2

Исследовать на непрерывность функцию
Найдем односторонние пределы в точке х=2:
Пример 2

Исследовать на непрерывность функцию
Найдем односторонние пределы в точке х=2:
Пример 2

Пределы равны бесконечности, значит х = 2 – точка разрыва второго рода.
Пример 2

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение
Функция у = f(x) называется непрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение
Функция у = f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (a;b) и непрерывна справа в точке a и слева в точке b.
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса
Всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на нем и достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса
Всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на нем и достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Больцано-Коши
Если функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения А и В, тогда для любого числа С, находящегося между А и В, найдется такое число с, принадлежащее интервалу (a;b), что f(с)=С.
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Больцано-Коши
Если функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения А и В, тогда для любого числа С, находящегося между А и В, найдется такое число с, принадлежащее интервалу (a;b), что у = f(с)=С.
Свойства функций, непрерывных на отрезке

Следствие
Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в нуль: f(с)=0.
Свойства функций, непрерывных на отрезке