Обработка многократных измерений

Вопрос №1
Обработка результатов неравноточных измерений.

Алгоритм обработки результатов неравноточных измерений.
Если обработке подлежат ряды измерений, выполненные в разных условиях или разными операторами, или в разное время, то для оценки действительного значения измеряемой величины необходимо проверить их на равноточность.
Для проверки гипотезы равноточности двух рядов, состоящих из n1 и n2 результатов измерений, вычисляют эмпирические дисперсии для каждого ряда
и
Затем находят дисперсионное отношение
Которое составляется так, чтобы s1>s2.

Алгоритм обработки результатов неравноточных измерений.
Значения Fq для различных уровней значимости q и степеней свободы k1=n1-1 и k2=n2-1 берутся из таблицы критерия Фишера или вычисляются по аппроксимирующим уравнениям. (Уравнения и таблица будут рассмотрены на лабораторной работе)
Для проверки равноточности результатов измерений применяется также критерий Романовского R. Для этого определяют отношение
где
и
Результаты наблюдений считаются равноточными, если R < 3.
Обработка неравноточных измерений сводиться к определению достоверного значения измеряемой величины и оценке воспроизводимости измерений.

Алгоритм обработки результатов неравноточных измерений.
Пусть некоторая величина Х была измерена многократно различными операторами и в разных условиях. В процессе измерений получены следующие результаты х1,х2…хn со средними квадратическими отклонениями s1,s2…sn , то наблюдение . может быть найдено по формуле
Для удобства вычислений по этой формуле вводят веса , где – некоторый коэффициент, выбранный таким образом, чтобы отношение было близким к единице.
С учетом этого предыдущую формула имеет следующий вид:

Алгоритм обработки результатов неравноточных измерений.
Среднее квадратическое отклонение результатов измерений вычисляется по формуле
а для оценки среднего квадратичного отклонения SХp весового среднего используется формула
Если значение si не вычислялись, а известны лишь средние значения величины в каждой i-й серии (xi) и количество наблюдений ni, то весовое среднее вычисляется по формуле

Пример №1 Обработки результатов неравноточных измерений.
Выполнено шесть серий измерений значения размера и получены следующие результаты: значение размера в i-й серии: 20,617; 20,666; 20,643; 20,635; 20,629 и 20,654. Среднее квадратическое отклонение размера в i-й серии:32; 24; 18; 20; 16; 16.
1. Выберем значение равным, например, 24 (значение среднего квадратичного отклонения во второй серии – s2).
2. Вычислим веса рi по формуле . Получим соответственно:
0,5625; 1; 1,778; 1,44; 1,5; 1,5.
3. Вычислим весовое среднее:
= (20,617*0,5625 + 20,666*1 + 20,643*1,778 + 20,635*1,44 + + 20,629*1,5 + 20,654*1,5)/(0,5625 + 1 + 1,778 + 1,44 + 1,5 + 1,5) = 20,642.
4. Вычислим среднее квадратичное результатов измерений S:

5. Вычислим среднее квадратичное отклонение весового среднего по формуле:
6. Результат представим в виде:
Пример №1 обработки результатов неравноточных измерений.
(продолжение)

Вопрос №2
Обработка прямых многократных равноточных измерений.

Как уже говорилось на предыдущих лекциях, многократные измерения обычно проводятся для уменьшения влияния возможных погрешностей. Результат каждого измерения при этом дает оценку измеряемой величины.
Результат наблюдения отличается от истинного значения измеряемой величины из-за наличия случайной Δ и систематической Δс, составляющих погрешности
Если систематическая погрешность результата измерений известна, то вводят поправки
Подставив в верхнюю формулу получаем:
Если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то, как уже отмечалось, оптимальной оценкой распределения Х является среднее арифметическое результатов измерений
Введение.

В общем случаи алгоритм обработки результатов измерений сводиться к следующему.
Исключают из результатов наблюдений известные систематические погрешности. Если известно, что все результаты наблюдений имеют одинаковую систематическую погрешность, ее исключают из результата измерений.
Если есть подозрение о наличии грубых погрешностей, то их исключают из результатов измерения, используя критерии, приведенные в лекции №2.
Вычисляют среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений.
Вычисляют оценку среднего квадратичного отклонения результата измерений по формуле
Рассчитывают оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического значения по формуле
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений.

6. Определяют принадлежность результатов измерений нормальному распределению.
При числе результатов измерений n > 50 для проверки этой гипотезы используют критерий ω или χ2.
Если 15 < n < 50, то используют составной критерий (ГОСТ 8.207-76).
При n ≤ 15 гипотеза о нормальности распределения не проверяется. В. этом случае предполагается, что вид закона распределения известен заранее. Обработка результатов измерения при n < 15 приведена в ГОСТ 8.532-2002.
6.1. Проверка гипотезы с помощью составного критерия.
6.1.1. Определяется отношение d (Критерий 1):
6.1.2. Выбирают уровень значимости критерия (обычно 0,02
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)

6.1.3. Определяют теоретические значения критерия , и
по таблице или рассчитывают по следующим формулам:
при
при
при
при
при
при
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение Критерий 1)
Значения квантилей распределения
составного критерия d
Формулы справедливы для 11≤n≤50
Гипотеза о нормальности по критерию d принимается, если
В противном случаи отвергается

6.2. Критерий 2 введен дополнительно для проверки «концов распределения». Считается, что результаты наблюдений соответствуют нормальному распределению,
если не более m разностей превзойдет
значение , где - квантель распреде-
ления нормированной функции Лапласа,
отвечающий вероятности .
Вероятность Р определяют по n и q как
корень уравнения:
Для нахождения Р по заданным n и q составлена таблица.
При 10 < n < 20 следует принимать m-1, а при 20 < n < 50 следует принимать m-2.
Гипотеза о нормальности принимается, если число разностей , больше , не превышает m.
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение Критерий 2)
Значения Р из уравнения

6.3. В результате точечной обработки результатов измерений имеем: q = 0,02; n = 16; P = 0,09; Sx =0,206.
По формуле = ;
Тогда = 2,5807*0,206 = 0,5316.
При q = 0,02; n = 16 из таблицы находим m(m=1). Если ни одно из значений ряда измерений не превышает 0,5316 то гипотеза о нормальности распределения принимается.
И в общем случае гипотеза о нормальности принимается, если для проверяемой группы измерений выполняются оба критерия.
Уровень значимости составного критерия q=q1+q2,
где q1 – уровень значимости для критерия 1 (d-критерия);
q2- то же для критерия 2.
Пример №2 Обработки прямых многократных равноточных измерений.

7. Находят доверительную погрешность результата измерений и доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения.
7.1. Нахождение доверительных интервалов при известной точности измерений. Если заранее известна средняя квадратичная погрешность , то доверительный интервал имеет вид:
Значение t=tp определяется по заданной доверительной вероятности Р из условия 2Ф(t) = P.
7.2. Нахождение доверительного интервала при неизвестной точности измерений. Доверительный интервал принимает следующий вид:
где k=n-1, а множитель tp(k) зависит от доверительной вероятности Р и числа измерений n. Уровень значимости q=1-P.
Значения множителя tp(k) можно определить по формулам приведенным в предыдущей лекции.
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)

В результате 10 измерений получены следующие результаты:
, среднее квадратичное отклонение . Вычислить доверительные границы интервала, в котором находится действительное значение величины x с доверительной вероятностью Р = 0,99.
Решение. Число степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9.
Находим множитель
=
Тогда
Значение величины x будет находиться в диапазоне
36,06 – 0,2706 < x < 36,06 + 0,2706,
т.е. 35,789 < x < 36,331.
Пример №3 Обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)

7. Находят доверительную погрешность результата измерений и доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения.
7.3. Нахождение доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности.
Для нахождения доверительных интервалов для средней квадратичной погрешности используют распределение χ2.
7.3.1. Определяем Рв и Рн по формулам
;
7.3.2. Определяют число степеней свободы по формуле k = n - 1.
7.3.3. Для получения значений Рв и Рн по уравнениям:
для Р=0,9; q1 = 1- Р = 0,1
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)

Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)
Для Р=0,96; q1 = 1- Р = 0,04
Для Р=0,99; q1 = 1- Р = 0,02
По таблице находим значения
7.3.4. Определяют доверительный интеграл для среднеквадратичного отклонения:
Значение при различном уровне значимости q = 1 - P

В результате 10 измерений получено среднее квадратичное отклонение .Требуется определить доверительный интервал для с вероятностью Р = 0,90.
Решение. Число степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9.
и
Находим по приведенных на предыдущих двух слайдах
Тогда
т.е. истинное значение σ с вероятностью 0,95 будет находиться в интервале
Пример №4 Обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)

8. Определяют границы неисключенной систематической погрешности. Если известно, что погрешность результата измерений определяется рядом составляющих неисключенных систематических погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные границы, то при неизвестных законах распределения их границы суммарной погрешности находят по формуле:
где: m – число неисключенных систематических составляющих
погрешностей результата измерений;
K – коэффициент, принимаемый равным 1,1 при доверительной вероятности Р=0,95 и зависящий от числа составляющих неисключенных систематических погрешностей.
Алгоритм обработки прямых многократных равноточных измерений. (Продолжение)