Общие методы решения уравнений

Цели урока:
Рассмотреть общие методы решения уравнений.
Научиться применять эти методы при решении уравнений.
Формировать навыки применение наиболее рациональных способов решения уравнений.

Рассмотрим уравнения:
1) х² - 2 х = 0;
2) sin²x + sinx = 0;
3)

Рассмотрим уравнения:

Общие методы решения уравнений:
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).
Метод разложения на множители.
Метод введения новой переменной.
Функционально-графический метод.

Этот метод мы применяем:
при решении показательных уравнений, когда переходили от уравнения (а>0, а≠1) к уравнению f(x) = g(x);
при решении логарифмических уравнений, когда переходили от уравнения log f(x) = log g(x) к уравнению f(x) = g(x);
при решении иррациональных уравнений, когда переходили от уравнения к уравнению f(x) = g(x).
1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x).

Пример 1:
Решить уравнение
Ответ: 0; 1,5.

Пример 2:

Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений:
Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.
2. Метод разложения на множители.

Пример 3:
Решить уравнение

Из найденных корней этой системе неравенств удовлетворяет только
х = 9, остальные являются посторонними для данного уравнения.
Ответ: 9.
Пример 3:

Если уравнение f(x)= 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений:
где и , и ,… и - корни уравнения р(и) = 0.
3. Метод введения новой переменной.

Пример 4:
Решить уравнение
Введём новую переменную .
Получим:
Освободившись от знаменателей, получим:

Пример 4:
Найдём корни квадратного уравнения:
Выполним проверку корней на выполнение условия:
5(у – 3)(у + 1) ≠ 0.
Оба корня удовлетворяют данному условию.

Пример 4:
Вернёмся к замене переменной и решим два уравнения:
и
Ответ:

3. Функционально-графический метод.
Чтобы графически решить уравнение f(x) = g(x) нужно построить графики функций
у = f(x) и у = g(x) и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат абсциссы этих точек.

2 шаг: найти абсциссы точек (или точки) пересечения графиков
Ответ: x1 = 1, х2 = 4
Пример 5:

2. x3 – 5 + х = 0
g(x) = 5 - х
f(x) = х3
х ≈ 1,5
Решением является абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения
х3 = 5 - х
Пример 6:

Графические методы решения уравнений
Построение графиков функций левой и правой частей уравнения (решением является абсциссы точек (точки) пересечения графиков)
Функционально – графические методы
Использование свойств функций левой и правой частей уравнения (монотонность, четность, нечетность)
Использование ограниченности функций левой и правой частей уравнения (метод оценки)

Рассмотрим функцию у = х² - 2х + 2. Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.
В вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения.
Пример 7:
Решить уравнение

Для функции у = х² - 2х + 2
Функция у = cos 2πx обладает свойством:
Пример 7:
Найдём координаты вершины параболы.

х² - 2х + 2 = 1,
cos 2πx = 1.
Решив 1 уравнение получили: х = 1. Это значение удовлетворяет и 2 уравнению системы, следовательно, является единственным корнем заданного уравнения.
Пример 7:
Задача сводится к решению системы уравнений
Ответ: 1.

Мы рассмотрели общие методы решения уравнений, примеры применения этих методов.
Перейдём к практической работе.
Решаем № 27.5 (в), 27.9 (б), 27.12 (б), 27.14 (а), 27.19 (б), 27.21 (а), 27.25 (а,б).

№ 27.25 (а)
Ответ: одно решение

1
0
х
у
x2 + 1 = cos x
y = x2 + 1
y = cos x
x2 + 1 ≥ 1
cos x ≤ 1
x = 0
y = 1
⇒
№ 27.25 (б)
Ответ: 1 корень.