Решение задач

Задача
Вычислить обратную матрицу Гессе, используемую в методе Ньютона для целевой функции, заданной выражением:
Решение. Матрицей Гессе называют матрицу вторых частных производных целевой функции по управляемым параметрам:
Таким образом,

Задача
Определить направление поиска для метода наискорейшего спуска, если целевую функцию можно аппроксимировать выражением:
Указания: Сделать пояснительный рисунок.
Решение. Направление поиска по методу наискорейшего спуска – противоположно направлению вектора градиента ЦФ. Определим этот вектор градиента:
grad [I(x)] = [∂I/∂x1 ∂I/∂x2]T
∂I/∂x1 = 2x1 ∂I/∂x2 = 4x2
Норма вектора градиента: √ (∂I/∂x1)2+ (∂I/∂x2)2 = 2 √ x12+4 x22
Окончательно: g =

Задача
Целевая функция (ЦФ) задана в виде: , а также задано ограничение в форме равенства: x2 = 1. Найти координаты точки минимума ЦФ и значение ЦФ в этой точке.
Указания:
использовать для решения метод множителей Лагранжа;
сделать пояснительный 3D рисунок.