Показательные уравнения и неравенства

Основные свойства степени.
Свойства:
1. ах * ау = а х+у
2. ах : ау = а х-у
3. (а * b)х = ах * bх
4. (а/b)x = ax * bx
5. (ax)y = axy
Устный счет:
а) 33 * 3-5
б) 7-4 * 72
в) 55 : 52
г) 3-4 : 3-2
д) (1/5)-1 * 5
е) (1/2)-2 : 2
ж) 100 0,5
з) 271/3

Показательные уравнения.
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным уравнением.
При решении простейших показательных уравнений необходимо:
- привести левую и правую части уравнения к одинаковому основанию;
- приравнять показатели степеней и решить полученное уравнение:
аf(x)= ag(x)
f(x)= g(x)

Простейшие показательные уравнения.
Решите уравнения и выберите правильный ответ:
1) (0,3)x+1=0,027
а) 2; б) -2; в) 3; г) -3.
2) (0,5)х-2 = 8
а) 2; б) 1; в) -2; г) -1.
3) 5х = 0,04
а) -4; б) -2; в) 2; г) 4.

Методы решения показательных уравнений.
1) Приведение к простейшему показательному уравнению.
Пример решения:
8 * 4х = 0,5
23 * 22х = 2-1
23+2х = 2-1
Получили одинаковые основания, приравниваем показатели
3 + 2х = -1
2х = -4
х = -2.
Ответ: -2.

Методы решения показательных уравнений.
2) Метод разложения на множители.
Пример решения:
3х+2 – 2 * 3х = 7/3
3х * 32 – 2 * 3х = 7/3
3х * (9 – 2) = 7/3
3х * 7 = 7/3
3х = 1/3
3х = 3-1
Получили одинаковые основания, приравниваем показатели
х = -1.
Ответ: -1.

Методы решения показательных уравнений.
3) Метод замены переменной.
Пример решения:
4х + 2х – 20 = 0
(22)х + 2х – 20 = 0
22х + 2х – 20 = 0
Пусть 2х = t, t > 0, тогда:
t2 + t – 20 = 0
D = 81
t1 = 4; t2 = -5
t = -5 – не удовлетворяет условию t > 0. Вернёмся к подстановке:
2х = 4
2х = 22
х = 2
Ответ: 2.

Алгоритм решения простейших показательных неравенств.
Преобразовать неравенство так чтобы в левой и правой частях были степени с одинаковым основанием.
Если основание а>1, то отбросив его, знак неравенства сохраняется; если основание 0
Решить полученное неравенство.
Отметить промежутки на числовой оси и записать ответ.
аf(x)>ag(x)
a>1
0
f(x)>g(x)
f(x)