ДМ.9. Замкнутые классы

Замкнутый класс
Система функций Σ называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций системы Σ снова принадлежит системе Σ.

Пример 1
Множество всех конъюнкций K1 – замкнутый класс.

Пример 2
Множество всех дизъюнкций K2 – замкнутый класс.

Пример 3
Множество всех полиномов Жегалкина K3 – замкнутый класс.

Замыканием сиcтемы функций Σ называется система [Σ], состоящая из всех функций системы Σ и всех суперпозиций функций системы Σ.
Замыкание

Система функций Σ называется функционально полной (ФП), если через суперпозиции функций этой системы можно выразить любую логическую функцию.
Функционально полные системы

Если система функций Σ является замкнутым классом,
то есть Σ=K,
тогда она равна своему замыканию:
Замечание 1

Если система функций Σ является функционально полной,
тогда ее замыкание равно всему множеству логических функций:
Замечание 2

Пусть система - множество булевых операций
(базис Буля).
Σ0 – ФП, так как любая логическая функция может быть выражена Булевой формулой (БФ).
Пример 1

Система Σ0 является избыточной.
Пример 2
Дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание:
Конъюнкцию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

Откуда:
Продолжение примера 2

Замечание:
За не избыточность системы приходится платить избыточностью формул.

Тогда, в системе Σ1 она принимает вид:
Пример 3
Пусть булева формула имеет вид:

Тогда, в системе Σ2 она принимает вид:
Пример 4

Это следует из того, что через штрих Шеффера можно выразить функции ФП системы:
Пример 6
Система
- функционально полна.

Продолжение примера 6
Конъюнкцию выразим по формуле:
Отрицание выразим по формуле:

Продолжение примера 6
Убедимся в истинности равенства:

Это следует из того, что через стрелку Пирса можно выразить функции ФП системы:
Пример 7
Система
- функционально полна.

Продолжение примера 7
Дизъюнкцию выразим по формуле:
Отрицание выразим по формуле:

Продолжение примера 7
Убедимся в истинности равенства:

то система Σ - функциональна полна.
Теорема 1
Если через функции системы Σ можно выразить функции булева базиса ,
Тогда говорят, что система Σ - сводится к системе Σ0:

Следствие

то система Σ - функциональна полна.
Теорема 2
Если через функции системы Σ можно выразить функции некоторой функционально полной системы
,

Следствие
Таким образом, доказательство функциональной полноты произвольной системы функций можно строить путем сведения ее к некоторой системе, функциональная полнота которой доказана.

Функциональная полнота в слабом смысле
Система функций Σ называется функционально полной в слабом смысле (сФП),
если она будет функционально полной после добавления констант 0 и 1.