Углы в пространстве. Перпендикулярность плоскостей

Определение двугранного угла
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащим одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую .
ребро
грани
Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.
Общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла.

Обозначение двугранного угла.
А
В
С
D
Угол CBDA

Измерение двугранных углов. Линейный угол.
А
В
М
D
Р
С
АВМС =
Р
Угол Р – линейный угол двугранного угла АВМС
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру.

Способ нахождения (построения) линейного угла.
1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла
2. В гранях найти направления ( прямые) перпендикулярные ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные направления параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков

Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.
A
B
O
A1
O1
B1

Двугранный угол является острым , прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.
α
β

Аналогично тому , как и на плоскости , в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы.
β
β1
а
α
α1

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.
Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается равным нулю.

α, β — плоскости
φ — двугранный угол между плоскостями
α
β
φ

ε ⏊ σ, т.к. φ = 90°
Определение
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°

Стена и потолок

Теорема (признак перпендикулярности двух плоскостей)
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны
A
P
M
T

Дано:
ΔАВС, ∠С = 90°, АС ⊂ α, ∠ между плоскостями α и △ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см
Найти: расстояние от В до α
Решение:
1) Построим ВК ⏊ α. Тогда КС — проекция ВС на α
2) ВС ⏊ АС (по условию), значит, (по ТТП), КС ⏊ АС ⇒ ∠ ВСК — линейный угол двугранного угла АВСК, т. е. ∠ ВСК = 60°
3) Из ΔBCA по теореме Пифагора:
из ΔВКС:
Задача

Построение лодки

Построение моста

Лестница